Question

14．如图所示，固定的光滑金属导轨间距为L，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．质量为m、有效阻值为$\frac{R}{2}$导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v₀．整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的中心轴线与导轨平行．求：
（1）初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向；
（2）当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，求此时导体棒的加速度大小a；
（3）若导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为E_p，求导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）棒向上运动切割磁感线，由E₁=BLv₀求感应电动势，由欧姆定律求感应电流，根据右手定则判断感应电流的方向；
（2）当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，棒产生的感应电动势为E₂=BLv，再由欧姆定律求得感应电流，由F=BIL求出此时棒所受的安培力，根据牛顿第二定律就可以求出加速度；
（3）导体棒最终静止时，由胡克定律求出弹簧的被压缩长度x，对整个过程，运用能量守恒列式，可求出回路产生的总热量，再串联关系求出R上产生的焦耳热Q．

解答 解：（1）棒产生的感应电动势为：E₁=BLv₀
通过R的电流大小为：${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{R+\frac{R}{2}}$=$\frac{2BL{v}_{0}}{3R}$
根据右手定则判断得知：电流方向为：b→a        　　　　
（2）棒产生的感应电动势为：E₂=BLv
感应电流为：${I}_{2}=\frac{{E}_{2}}{R+\frac{R}{2}}$
棒受到的安培力大小为：$F=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+\frac{1}{2}R}$=$\frac{{2B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$，方向沿斜面向上，如图所示．
根据牛顿第二定律 有：mgsinθ-F=ma
解得：$a=gsinθ-\frac{{2B}^{2}{L}^{2}v}{3mR}$
（3）导体棒最终静止，：mgsinθ=kx
弹簧的压缩量为：$x=\frac{mgsinθ}{k}$
设整个过程回路产生的焦耳热为Q₀，根据能量守恒定律，有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mgxsinθ={E}_{P}+{Q}_{0}$
解得：${Q}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{（mgsinθ）^{2}}{k}-{E}_{P}$
电阻R上产生的焦耳热为：
$Q=\frac{R}{R+\frac{1}{2}R}{Q}_{0}=\frac{2}{3}[\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{{（mgsinθ）}^{2}}{k}-{E}_{P}]$
答：（1）初始时刻通过电阻R的电流I的大小为$\frac{2BL{v}_{0}}{3R}$，方向为b→a；
（2）此时导体棒的加速度大小a为$gsinθ-\frac{{2B}^{2}{L}^{2}v}{3mR}$；
（3）导体棒从开始运动直到停止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为$\frac{2}{3}[\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{{（mgsinθ）}^{2}}{k}-{E}_{P}]$．

点评 本题是导体棒在导轨上滑动的类型，分析、计算安培力和分析能量如何转化是解题的关键，综合性较强．