Question

16．“嫦娥一号”探月卫星与稍早日本的“月亮女神号”探月卫星不同，“嫦娥一号”卫星是在绕月极地轨道上运动的，加上月球的自转，因而“嫦娥一号”卫星能探测到整个月球的表面，“嫦娥一号”卫星的CCD相继对月球背面进行成像检测，并获取了月球背面部分区域的影像图．卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H，绕行的周期为T_M；月球绕地球公转的周期为T_E，半径为R_o，地球半径为R_E，月球半径为R_M．若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响，试求月球与地球质量之比为（　　）

• A． （$\frac{{T}_{E}}{{T}_{M}}$）²•（$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³
• B． $\frac{{{R}_{0}}^{3}{T}^{2}}{{{R}_{E}}^{3}{{T}_{0}}^{2}}$
• C． $\frac{R{{E}_{K}}^{3}}{{{R}_{0}}^{3}}$
• D． （$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³

Answer 1

分析 一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时，所需向心力由中心天体的万有引力提供，由牛顿第二定律列方程，求出天体质量的表达式，然后求出月球与地球的质量之比．

解答 解：设卫星质量是m，月球和地球的质量分别为M_月和M_地．卫星绕月球做圆周运动，由月球的万有引力提供卫星的向心力，由牛顿第二定律可得：
G$\frac{{M}_{月}m}{（{R}_{M}+H）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{M}}^{2}}$（R_M+H），
月球质量：M_月=$\frac{4{π}^{2}（{R}_{M}+H）^{3}}{G{{T}_{M}}^{2}}$
同理，月球绕地球做圆周运动的向心力由地球对月球的万有引力提供，则由牛顿第二定律得：
G$\frac{{M}_{月}{M}_{地}}{{{R}_{0}}^{2}}={M}_{月}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{E}}^{2}}$R₀，
地球质量：M_地=$\frac{4{π}^{2}{{R}_{0}}^{3}}{G{{T}_{E}}^{2}}$，
所以：$\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}$=（$\frac{{T}_{E}}{{T}_{M}}$）²•（$\frac{{R}_{M}+H}{{R}_{0}}$）³，故A正确．
故选：A

点评 知道环绕天体的轨道半径和周期，可以求中心天体的质量，是常见的题型，关键要建立卫星运动的模型，明确万有引力提供卫星的向心力这一基本思路．