Question

20．如图所示，有一内表面光滑的金属盒，底面长为L=1.2m，质量为m₁=1kg，放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数为μ=0.2，在盒内最右端放一半径为r=0.1m的光滑金属球，质量为m₂=1kg，现在盒的左端，给盒一个初速度v=3m/s（盒壁厚度，球与盒发生碰撞的时间和能量损失均忽略不计，g取10m/s²）求：
（1）金属盒从开始运动到与球第一次碰撞速度时的速度v₁
（2）金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间？

Answer 1

分析 （1）对金属盒和小球组成的系统，根据动能定理列式，可求出金属盒获得的速度v₁；
（2）球与盒发生碰撞的时间和能量损失均忽略不计，即发生了弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可求出碰后两者的速度，由于质量相等，每碰撞一次，两者就会交换速度，逐次分析碰撞间隙盒前进的位移，分析能发生几次碰撞，再根据动量定理求时间．

解答 解：（1）根据动能定理，则从开始运动到左壁与小球相碰有：
 $\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$=-μ（m₁+m₂）（L-2r）
解得盒与球第一次碰撞速度 v₁=1m/s
（2）开始运动到与球第一次碰撞：t₁=$\frac{L-2r}{\frac{v+{v}_{1}}{2}}$=$\frac{1.2-0.2}{\frac{3+1}{2}}$s=0.5s
由于小球和盒子发生弹性碰撞，故碰撞完后交换速度，即小球速度为1m/s，盒子速度为零此后小球在盒内：
 t₂=$\frac{L-2r}{{v}_{1}}$=1s
小球与盒子再次相碰后，再次交换速度，盒子速度为1m/s，小球速度为零，则盒子运动的时间t₃满足动量定理，取向右为正方向，则有：
-μ（m₁+m₂）gt₃=0-m₁v₁，
代入数据解得：t₃=0.25s
所经历的时间为：t=t₁+t₂+t₃=1.75s    
答：（1）金属盒从开始运动到与球第一次碰撞速度时的速度v₁是1m/s．
（2）金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间1.75s．

点评 解答本题的关键要知道碰撞过程中动量、机械能守恒，且m₁=m₂，碰撞时两个物体会交换速度，求摩擦产生的内能时，要根据相对位移和摩擦力大小相乘．