Question

18．图示为戏水滑梯的模型图，它由两个半径均为R=0.5m的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道连接而成．O₁，O₂分别是这两段圆弧轨道的圆心，A处的切线竖直，O₂CD在同一条水平线上，CD是水池的水面．在B处有可视为质点的两个小球1和2，两小球间夹有一个极短的轻弹簧，当弹簧中储存了90J的弹性势能时将弹簧锁定．已知：m₁=4kg，m₂=1kg，g=10m/s²，某时刻解除弹簧的锁定．问：
（1）弹簧将两小球弹开的瞬间，它们的速度各多大？
（2）弹簧将两小球弹开的瞬间，小球1对轨道的压力多大？
（3）两个小球最终落入水池中时它们之间的距离．

Answer 1

分析 （1）对两小球碰撞过程由动量守恒定律及功能守恒定律可求得两球的速度；
（2）小球做圆周运动，由向心力公式可求得支持力，再由牛顿第三定律可求得小球对轨道的压力；
（3）由向心力公式可求得小球的速度，再由平抛运动规律可求得两小球落入水池时的距离．

解答 解：（1）由于两小球可视为质点，且弹簧极短，可认为两小球与弹簧组成的系统位于圆周的最低点B，且该处的切线是水平的，弹簧与两小球组成的系统合外力为零，满足：设向右为正方向，
由动量守恒定律可知：
mv₁+mv₂=0
由功能关系可得：
${E_p}=\frac{1}{2}{m_2}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$
解得：v₁=3m/s方向向左，v₂=-12m/s方向向右 
（2）小球1向左沿圆周做圆周运动，在最低点B满足：$N-{m_1}g={m_1}\frac{v_1^2}{R}$
解得小球1受到的轨道支持力N=112N
由牛顿第三定律可知，小球1对轨道的压力N′=112N
（3）在最低点B，小球直接飞出的条件：$mg=m\frac{v^2}{R}$
解得$v=\sqrt{gR}=\sqrt{5}m/s$
小球1最后由圆轨道AB返回，小球2向右运动，无论是小球1还是小球2，其速度都大于$v=\sqrt{5}m/s$，两小球直接飞离B点做平抛运动，满足：$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
s=（v₂-v₁）t
解得两小球落入水池时它们间的距离为：s=2.8m
答：（1）弹簧将两小球弹开的瞬间，它们的速度各为3m/s和-12m/s；
（2）弹簧将两小球弹开的瞬间，小球1对轨道的压力为112N；
（3）两个小球最终落入水池中时它们之间的距离为2.8M

点评 本题考查动量守恒定律、能量守恒定律及平抛运动规律，要注意分析物理过程，注意圆周运动中向心力公式的应用及平抛运动的规律的应用．