Question

17．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．
求：（1）地球的第一宇宙速度v；
（2）若一颗人造地球卫星离地面的高度为h，卫星做匀速圆周运动，求该卫星的周期T．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）设卫星的质量为m′，地球的质量为M，根据万有引力定律和牛顿第二定律列式，质量为m的卫星，在地面附近时，根据万有引力定律等于重力列式，联立方程求解．

解答 解：（1）设一质量为m的卫星，在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，物体受到的万有引力近似等于重力，根据牛顿第二定律有：
$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}$
（2）设卫星的质量为m′，地球的质量为M，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′（\frac{2π}{T}）^{2}（R+h）$
质量为m的卫星，在地面附近时，根据万有引力定律有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得卫星的周期为：$T=\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：（1）地球的第一宇宙速度v为$\sqrt{gR}$；
（2）该卫星的周期T为$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球卫星的万有引力提供向心力，难度不大，属于基础题．