Question

1．已知地球半径为R地球表面的重力加速度为g，地球同步卫星距地面的高度为h引力常量G．计算：
（1）地球同步卫星周期T
（2）地球密度ρ

Answer 1

分析 （1）同步卫星和地球同步，其周期为地球自转的周期，根据万有引力提供向心力及万有引力和向心力的公式中的角速度公式即可求解；
（2）对于在地面处的物体有万有引力等于物体重力，表示出地球的质量，再根据密度公式求解

解答 解：（1）设地球的质量为M，对于在地面处质量为m的物体有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m g①
设同步卫星的质量为m，则：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）②
由①②两式解得：T=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
（2）又因为：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$③
由①③两式解得：ρ=$\frac{3g}{4GπR}$
答：（1）同步卫星周期$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$（2）地球的密度是$\frac{3g}{4GπR}$

点评 该题为天体运动的典型题型，由万有引力提供向心力，再根据向心力的基本公式求解，解题过程中注意黄金代换式的应用