Question

3．如图所示，两个$\frac{1}{4}$圆弧轨道竖直固定，相切于最低点P，圆O₁的半径为R，圆O₂的半径为2R，圆心O₁、圆心O₂与P点在同一竖直线上，从A，B两点以不同的速率水平抛出甲、乙两个相同的小球，两球恰好在P点相遇，两球均可视为质点，空气阻力不坟，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

• A． 两球做平抛运动的时间之差为$\sqrt{\frac{R}{2g}}$
• B． 乙球水平抛出的速率是甲球水平抛出的速率的$\sqrt{2}$倍
• C． 两球落在P点时的速度与竖直方向的夹角相同
• D． 乙球到达P点时的动能是甲球到达P点时的动能的2倍

Answer 1

分析 两球做平抛运动，由高度求出时间，再得到时间差．由水平分运动的规律求出初速度关系．由速度关系求速度与竖直方向的夹角．由速度的合成求到达P的速度，从而得到动能．

解答 解：A、两球做平抛运动的时间之差为△t=$\sqrt{\frac{2•2R}{g}}$-$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，故A错误．
B、甲球的初速度 v₁=$\frac{R}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，乙球的初速度 v₂=$\frac{2R}{\sqrt{\frac{2•2R}{g}}}$=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{2}$v₁，故B正确．
C、甲落在P点时的速度与竖直方向的夹角正切 tanα₁=$\frac{{v}_{y1}}{{v}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2gR}}{\sqrt{\frac{1}{2}gR}}$=2，乙落在P点时的速度与竖直方向的夹角正切 tanα₂=$\frac{{v}_{y2}}{{v}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2g•2R}}{\sqrt{gR}}$=2，故两球落在P点时的速度与竖直方向的夹角相同．故C正确．
D、乙球到达P点时的速度大小 v_乙=$\sqrt{{v}_{2}^{2}+2g•2R}$=$\sqrt{5gR}$
甲球到达P点时的速度大小 v_甲=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+2gR}$=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，所以v_乙=$\sqrt{2}$v_甲，则乙球到达P点时的动能是甲球到达P点时的动能的2倍，故D正确．
故选：BCD

点评 本题要分析清楚小球的运动过程，熟练运用运动的分解法研究平抛运动，根据分运动的规律以及运动的合成与分解法研究．