Question

14．如图所示，$\frac{1}{4}$竖直圆弧轨道与水平板组合成一体，其质量M=4kg，半径R=0.25m，一轻质弹簧右端固定在平板上，弹簧的原长正好等于水平板的长度．组合体放在水平地面上并与左侧竖直墙壁紧挨在一起．将质量m=1kg的小物块（可视为质点）从圆弧轨道上端以初速度v₀=2m/s释放，物块到达圆弧轨道最低点时与弹簧接触并压缩弹簧．已知小物块与水平板间的动摩擦因数μ=0.2，弹簧的最大压缩量x=0.2m，其它接触面的摩擦均不计，重力加速度g取10m/s²．求：

（1）小物块到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力；
（2）弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）小物块从圆弧轨道上端到圆弧轨道最低点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求出小物块到达圆弧轨道最低点时的速度，再由牛顿运动定律求对轨道的压力；
（2）小物块压缩弹簧后，平板向右作加速运动，物块作减速运动，当两者速度时，弹簧的弹性势能最大．根据动量守恒定律与能量守恒定律可以求出弹簧的最大弹性势能．

解答 解：（1）小物块从圆弧轨道上端到圆弧轨道最低点的过程机械能守恒，则有：
  $\frac{1}{2}m{v_0}^2+mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
小物块到达圆弧轨道最低点时，由牛顿第二定律有：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$
联立解得 F_N=46N
根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力${F_N}^′=46N$，竖直向下．
（2）自小物块接触弹簧到弹簧压缩最短的过程中，取向右为正方向，小物块、弹簧、组合体组成的系统：
由动量守恒定律得 mv=（m+M）v′
由能量守恒定律得 $\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{2}（m+M）{v'^2}+Q+{E_P}$
又 Q=μmgx
解得：E_p=3.2J
答：
（1）小物块到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为46N，方向竖直向下；
（2）弹簧的最大弹性势能是3.2J．

点评 分析清楚物体的运动过程，把握弹性势能最大的条件：速度相同是正确解题的关键，分析清楚运动过程后，应用动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．