Question

2．如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在图中半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在圆的左边x=-2R处放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q＞0）和初速度v的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．从A点射出的带电微粒平行于x轴的方向进入有界磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开磁场．已知重力加速度大小为g，不计微粒间的相互作用．求：
（1）电场强度E的大小、方向及磁感应强度B的大小、方向．
（2）证明所有微粒都要经过O点．
（3）粒子从发出到离开磁场的时间t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由平衡条件求出电场强度，由牛顿第二定律求出磁感应强度．
（2）分析清楚粒子运动过程，根据粒子运动过程分析答题．
（3）作出粒子运动轨迹，粒子在磁场中转过的圆心角越大，粒子运动时间越长，根据粒子转过的圆心角与粒子在圆周运动的周期求出粒子的运动时间．

解答 解：（1）微粒在电场中做直线运动，电场力等于重力：qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向竖直向上（沿y轴正向），
在磁场中，qE与重力mg平衡，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子运动轨迹如图a所示，由几何关系知：r=R，
解得：B=$\frac{mv}{qR}$，方向垂直xOy平面向外． 
（2）从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动．如图b所示，P点与O点的连线与y轴的夹角为θ，则圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ），
又数学知识得：粒子圆周运动的轨迹方程为：（x+Rsinθ）²+（y-Rcosθ）²=R²，
令y=0，解得：x=0，由此可知所有粒子最后从坐标原点离开磁场；
（3）粒子在电场中做匀速直线运动，粒子进入磁场后做半径为R的匀速圆周运动，
粒子最终都从坐标原点O离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$，
从最上端进入磁场的粒子在磁场中偏转的角度为180°最大，因而运动的时间最长．
最长运动时间：t_max=t₁+t₂=$\frac{2R}{v}$+$\frac{1}{2}$T=$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$，
从下端射入的粒子运动时间最短：t_min=$\frac{2R}{v}$，
则粒子的运动时间：$\frac{2R}{v}$＜t＜$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$；
答：（1）电场强度E的大小为：$\frac{mg}{q}$，方向：竖直向上，磁感应强度B的大小为：$\frac{mv}{qR}$，方向：垂直xOy平面向外．
（2）证明如上所述．（3）粒子从发出到离开磁场的时间t的取值范围是：$\frac{2R}{v}$＜t＜$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$．

点评 本题的关键与难点是由数学知识求是否还有其它粒子同时落到圆周上，平时要注重数学方法在物理中的应用，该题型常常作为压轴题出现．本题考查了粒子在复合场、磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、应用平衡条件、牛顿第二定律、周期公式即可正确解题．