一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水,井的侧面和底部是密闭的,在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管,管和井共轴,管下端未触及井底,在圆管内有一不漏气的活塞,它可沿圆管上下滑动,开始时,管内外水面相齐,且活塞恰好触及水面,如图所示,现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F,使活塞缓慢向上移动,已知管筒半径r=0.100m,井的半径R=2r,水的密度ρ=1.00×103Kg/m3,大气压强为P0=1.00×103Pa,求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功。(井和管在水面以上及水面以下的部分足够长,不计活塞质量,不计摩擦,重力加速度g=10m/s2)。
解:从开始提升到活塞 升至内外水面高度差为的过程中,活塞始终与管内液体接触。(再提生活塞时,活塞和水面之间将出现真空,另行讨论。)设活塞上升距离为h1,管外液面下降距离为h2。
因液体体积不变,有
得
题给H=9m>h1,由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程。
活塞移动距离从零到h1的过程中,对于水和活塞这个整体,其机械能的增量应等于除重力以外其它力所作的功,因为始终无动能,所以机械能的增量也就等于重力势能增量,即
其他力有管内、外的大气压力和拉力F,因为液体不可压缩,
所以管内、外大气压力做的总功
故外力做功就只是拉力F做的功,由功能关系知
即
活塞移动距离从h1到H的过程中,液面不变,F是恒力做功
所求拉力F做的总功为
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图
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图7-7
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图13
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