Question

13．如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH同宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高，ab、cd是完全相同的金属棒，质量均为m，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长，重力加速度为g．试求：

（1）ab、cd棒的最终速度；
（2）全过程中感应电流在cd棒上产生的焦耳热；
（3）若导轨F、H端间距为l，磁感应强度为B，棒的电阻均为R，求
①整个过程通过cd棒的电荷量．
②cd棒由静止开始运动到速度稳定过程运动的位移大小．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理解出金属棒刚刚到达磁场时的速度；然后ab棒开始减速，cd棒开始加速，ab、cd两棒产生的电动势方向相反，导致总电动势减小，但是总电动势还是逆时针方向，所以cd继续加速，ab继续减速，直到ab、cd产生的电动势大小相等，相互抵消，此时电流为零，两棒不再受安培力，均做匀速直线运动．
（2）根据系统的能量守恒，列式得到回路中产生的总热量，再求解cd棒上产生的热量．
（3）金属棒由静止释放到加速到最大速度的过程中通过导体棒的电量是q=$\overline{I}$t，求出电量，结合导体棒动量的改变是△P=+B$\overline{I}$L•t即可求出电量与棒cd的位移．

解答 解：（1）设ab，cd棒的长度分别为3L和L，磁感强度为B，abP棒进入水平轨道的速度为v，
对于ab棒，金属棒下落h过程应用动能定理：mgh=$\frac{1}{2}$mv²，
解得P棒刚进入磁场时的速度为：v=$\sqrt{2gh}$
当P棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流．P棒受到安培力作用而减速，Q棒受到安培力而加速，Q棒运动后也将产生感应电动势，与P棒感应电动势反向，因此回路中的电流将减小．最终达到匀速运动时，回路的电流为零，
所以：E_a=E_c
即：3BLv_a=BLv_c
得 3v_a=v_c
因为当ab，cd在水平轨道上运动时，它们所受到的合力并不为零．F_a=3BIL，F_c=BIL（设I为回路中的电流），因此ab，cd组成的系统动量不守恒．
设ab棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为△t，
对ab，cd分别应用动量定理得：
-F_a△t=-3BIL△t=mv_a-mv ①
F_c△t=BIL△t=mv_c-0 ②
3v_a=v_c ③
解得：${v}_{a}=\frac{1}{10}\sqrt{2gh}$，${v}_{c}=\frac{3}{10}\sqrt{2gh}$
（2）根据能量守恒定律得回路产生的总热量为 Q=mgh-$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
联立得：Q=$\frac{9}{10}$mgh
cd棒上的热量是回路总热量的$\frac{1}{4}$．即为Q_c=$\frac{1}{4}$Q=$\frac{9}{40}mgh$
（3）只受到竖直方向的重力、支持力和水平方向的安培力的作用，沿水平方向上由动量定理得：
BIl•△t=△mv_c
金属棒cd由静止释放到加速到最大速度的过程中通过导体棒的电量是q=$\overline{I}$△t，
所以：$q=\frac{△m{v}_{c}}{Bl}$=$\frac{3m•\sqrt{2gh}}{10Bl}$，
而：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{{R}_{总}}$
$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{△t}=\frac{B•lx}{△t}$
${R}_{总}=R+\frac{1}{3}R=\frac{4}{3}R$
所以：$x=\frac{\overline{I}{R}_{总}△t}{Bl}=\frac{q{R}_{总}}{Bl}$=$\frac{mR\sqrt{2gh}}{5{B}^{2}{l}^{2}}$
答：（1）ab棒和cd棒的最终速度分别为$\frac{1}{10}$$\sqrt{2gh}$和$\frac{3}{10}$$\sqrt{2gh}$；
（2）cd棒产生的热量为$\frac{9}{40}mgh$
（3）①整个过程通过cd棒的电荷量是$\frac{3m•\sqrt{2gh}}{10Bl}$．
②cd棒由静止开始运动到速度稳定过程运动的位移大小是$\frac{mR\sqrt{2gh}}{5{B}^{2}{l}^{2}}$．

点评 运用动量守恒定律和机械能守恒定律之前，要判断题目所给的过程是否满足守恒的条件．动量守恒的条件是：系统所受的合外力为零，或者是在某一方向上所受的合外力为零，则系统在该方向上动量的分量守恒．