Question

（9分）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒,其绕土星的运动可视为圆周运动.其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为r_A=8.0×10⁴ km和r_B=1.2×10⁵ km,忽略所有岩石颗粒间的相互作用.(结果可用根式表示),求:
(1)岩石颗粒A和B的线速度之比.
(2)岩石颗粒A和B的周期之比.
(3)土星探测器上有一物体,在地球上重为10 N,推算出它在距土星中心3.2×10⁵ km处受到土星的引力为0.38 N.已知地球半径为6.4×10³ km,请估算土星质量是地球质量的多少倍?

Answer 1

（1）（2）（3） 95(倍)

  (1)设土星质量为M0,颗粒质量为m,颗粒距土星中心距离为r,线速度为v,根据牛顿第二定律和万有引力定律得
            ①                        ------2分
解得 
得：                          ②       -------1分
(2)设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T,则?
                       ③               -------2分
对于A、B两颗粒分别有：
得:                  ④              -------1分
(3)设地球质量为M,地球半径为r0,地球上物体的重力可视为万有引力,探测器上物体质量为m0,在地球表面重力为G0,距土星中心r0′=3.2×105 km处的引力为G0′,根据万有引力定律：
                       ⑤         
                     ⑥            -------2分
由⑤⑥得:=95(倍)                              -------1分