Question

如图所示，水平光滑轨道连接一个半圆形光滑轨道，轨道半径为R=0.50m，质点m以速度v₀=15m/s与静止在半圆形轨道下端的质点M作对心正碰后以速度v=5.0m/s反弹回来，质点M被碰撞后恰能到达圆形轨道的最高点A．求：（g=10m/s²）
（1）碰撞结束时质点M对圆轨道的压力N；
（2）两质点的质量比m：M；
（3）质点M落回到水平面上的位置到半圆形轨道底端的距离．

Answer 1

分析：（1）M恰好到达轨道最高点，支点做圆周运动的向心力由重力提供，由牛顿第二定律可以求出质点在最高点时的速度，M从最低点运动到最高点的过程中只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出质点在最低点时的速度，然后由牛顿第二定律可以求出轨道对最低点的支持力，然后由牛顿第三定律求出质点对轨道的压力．
（2）两质点碰撞过程机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出两质点的质量之比．
（3）质点M离开轨道后做平抛运动，由平抛运动知识可以求出质点的位置．

解答：解：（1）质点M恰好到达最高点A，
在最高点，由牛顿第二定律得：Mg=M

v 2 A

R

，解得：v_A=

gR

，
从最低点到最高点过程中，只有重力做功，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：

1

2

Mv²=Mg?2R+

1

2

Mv_A²，
在最低点，质点做圆周运动，由牛顿第二定律得：
N′-Mg=M

v2

R

，解得：N′=6Mg，v=

5gR

=

5×10×0.5

=5m/s，
由牛顿第三定律得，质点对轨道的压力N=N′=6Mg，方向竖直向下；
（2）两质点碰撞过程动量守恒，以两质点组成的系统为研究对象，
以质点m的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=mv′+Mv，解得：

m

M

=

v

v0-v′

=

5

15-(-5)

=

1

4

；
（3）M离开轨道后做平抛运动，
在竖直方向：2R=

1

2

gt²，
在水平方向：x=v_At，
解得：x=2R=2×0.5=1m；
答：（1）碰撞结束时质点M对圆轨道的压力N为6Mg，方向竖直向下；
（2）两质点的质量比m：M=1：4；
（3）质点M落回到水平面上的位置到半圆形轨道底端的距离为1m．

点评：分析清楚物体的运动过程是正确解题的前提与关键，应用机械能守恒定律（或动能定理）、牛顿第二定律、平抛运动规律即可正确解题．