Question

3．如图所示，在直角坐标系XOY的第二象限内，存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E₀，M（-L，L）H和N（一L，0）两点的连线上有一个产生粒子的发生器装置，产生质量均为m，电荷量均为q的初速度为零的带正电的粒子，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用，且整个装置处于真空中；在第一象限中，存在着竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E₀，圆形空间内没有电场，圆的直径为L，与X轴相切A点，A点的坐标为（L，0），在第四象限内距离x轴$\frac{\sqrt{3}}{3}$L的位置有一个平行于X轴拉为$\frac{4}{3}$L的荧光屏PQ，
（1）若从MN上某点释放的粒子经过电场后恰经过A点，求该粒子从释放到运动到A点的时间；
（2）撤去第一象限的电场，在圆形空间中加上磁场B，从MN上的中点释放的粒子，也恰能经过A点，求所加磁场的大小及方向，并求粒子从释放到运动至A点所用的时间；
（3）在第二问的基础上，求MN上释放的所有能打到荧光屏上的粒子的纵坐标范围．

Answer 1

分析 （1）不管粒子从何处发射，粒子在水平方向先做匀加速直线运动到第一象限再做匀速直线运动，由匀加速直线运动规律求出粒子到第一象限的末速度和时间，在第一象限水平方向的位移除以速度，得到在第一象限的时间，两者相加求出该粒子从释放到运动到A点的时间．
（2）粒子在第二象限做匀加速直线运动，到第一象限先做位移为L/2的匀速直线运动，进入磁场后做半径的R的匀速圆周运动到达A点，分别求出每一段的时间相加，就得到粒子从释放到运动至A点所用的时间．
（3）从MN上发生器产生的粒子经第二象限电场加速后具有相同的速度，水平进入圆形磁场做匀速圆周运动的半径相同为L/2，可以证明：所有粒子均从A点穿出磁场，再根据最低坐标处发生器发出的粒子打在Q点，由几何关系求出其偏向角，找到最小纵坐标，同理也可以找到最高点纵坐标．

解答 解：（1）粒子在第二象限的电场中做匀加速直线运动，加速度为：$a=\frac{q{E}_{0}}{m}$  
进入第一象限的速度为：${v}_{1}=\sqrt{2aL}$=$\sqrt{\frac{2q{E}_{0}L}{m}}$ 
时间为：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
在第一象限水平方向上做匀速直线运动的时间为：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{1}}=\sqrt{\frac{Lm}{2q{E}_{0}}}$
该粒子从释放到运动到A点的时间为：$t=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
（2）撤去第一象限的电场，在圆形空间中加上磁场B，粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为：R=$\frac{L}{2}$ 
洛仑兹力提供向心力为：$qB{v}_{1}=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$
所以磁感应强度为：B=$2\sqrt{\frac{2m{E}_{0}}{qL}}$  方向垂直纸面向外．
粒子在第二象限的电场中做匀加速直线运动
时间为：${t}_{3}=\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
离开电场示进入磁场时做匀速直线运动的时间为：${t}_{4}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{Lm}{2q{E}_{0}}}$ 
  在磁场中做匀速圆周运动，时间${t}_{5}=\frac{T}{4}=\frac{π}{8}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$  或$\frac{π}{4}\sqrt{\frac{Lm}{2q{E}_{0}}}$      
  粒子从释放到运动到A点的时间为上述三段时间之和：$t=（\frac{5}{4}+\frac{π}{8}）\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
（3）从MN上释放的所有粒子在磁场中运动的半径R均为$\frac{L}{2}$，并都能通过A点，如图
  所示，能打到荧光屏上的最低纵坐标粒子应刚过Q点，其速度偏向角等于圆心角等
  于60°，最高纵坐标粒子应刚过P点，其速度偏向角等于圆心角150°，由几何关系可知在M板
  上出发的粒子其纵坐标范围为  $\frac{L}{4}≤y≤\frac{2+\sqrt{3}}{4}L$  的均能落在PQ板上．
答：（1）若从MN上某点释放的粒子经过电场后恰经过A点，该粒子从释放到运动到A点的时间为$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$．
（2）撤去第一象限的电场，在圆形空间中加上磁场B，从MN上的中点释放的粒子，也恰能经过A点，则所加磁场的大小为$2\sqrt{\frac{2m{E}_{0}}{qL}}$，方向为垂直纸面向外，粒子从释放到运动至A点所用的时间为$（\frac{5}{4}+\frac{π}{8}）\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$．
（3）在第二问的基础上，从MN上释放的所有能打到荧光屏上的粒子的纵坐标范围是：$\frac{L}{4}≤y≤\frac{2+\sqrt{3}}{4}L$．

点评 本题的靓点在于第三问，涉及两个等圆相交有其特殊性：①由几何关系知道，两圆心和两交点构成菱形（因为四边均为L/2）；②从MN上由第二象限电场加速的粒子具有相同的速度进入圆形磁场，由于做匀速圆周运动的圆心均在入射点的正下方，则所有粒子做半径相同的圆周运动后均通过A点射出圆形磁场区域．抓住这一关键点，求出偏向角，从而求出最小和最大纵坐标．