Question

10．如图，在宽度分别为l₁和l₂的两个毗邻的条形区域分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁分界线平行向右，一带正电荷的粒子以速率v从磁场区域上边界的P点斜射入磁场，然后以垂直于电、磁场分界线的交点到PQ的距离为d，不计重力，求电场强度与磁感应强度大小之比及粒子在磁场与电场中运动时间之比．

Answer 1

分析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，找出圆心根据牛顿第二定律并结合几何关系列式；在电场中做类似平抛运动，垂直电场线方向做匀速直线运动，平行电场线方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据分位移公式列式，最后联立方程组求解．

解答 解：粒子在磁场中做匀速圆周运动（如图）．由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直，圆心O应在分界线上，OP长度即为粒子运动的圆弧的半径R．由几何关系得：

R²=l₁²+（R-d）²…①
设粒子的质量和所带正电荷分别为m和q，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
设P′为虚线与分界线的交点，∠POP′=α，则粒子在磁场中的运动时间为
t₁=$\frac{Rα}{v}$…③
式中sinα=$\frac{{l}_{1}}{R}$…④
粒子进入电场后做类平抛运动，其初速度为v，方向垂直于电场．设粒子加速度大小为a，由牛顿第二定律得
qE=ma…⑤
由运动学公式有：
d=$\frac{1}{2}$a${t}_{2}^{2}$…⑥
l₂=vt₂…⑦
式中t₂是粒子在电场中运动的时间．
由①②⑤⑥⑦式得：$\frac{E}{B}$=$\frac{{l}_{1}^{2}+{d}^{2}}{{l}_{2}^{2}}$v
由①③④⑦式得：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{{l}_{1}^{2}+{d}^{2}}{2d{l}_{2}}$arcsin（$\frac{2d{l}_{1}}{{l}_{1}^{2}+{d}^{2}}$）
答：（1）电场强度与磁感应强度大小之比为$\frac{E}{B}$=$\frac{{l}_{1}^{2}+{d}^{2}}{{l}_{2}^{2}}$v．
（2）粒子在磁场与电场中运动时间之比为$\frac{{l}_{1}^{2}+{d}^{2}}{2d{l}_{2}}$arcsin（$\frac{2d{l}_{1}}{{l}_{1}^{2}+{d}^{2}}$）

点评 本题关键是明确粒子的运动规律并画出运动轨迹，然后分段按照牛顿第二定律、向心力公式、类似平抛运动的分位移公式列式求解．