Question

（2011?惠州三模）如图所示，质量M=2kg的长木板B静止于光滑水平面上，B的右边放有竖直固定挡板，B的右端距离挡板S．现有一小物体A（可视为质点）质量为m=1kg，以初速度v₀=6m/s从B的左端水平滑上B．已知A与B间的动摩擦因数μ=0.2，A始终未滑离B，B与竖直挡板碰前A和B已相对静止，B与挡板的碰撞时间极短，碰后以原速率弹回．
求：（1）B与挡板相碰时的速度大小；
（2）S的最短距离；
（3）木板B的长度L至少要多长（保留2位小数）．

Answer 1

分析：A在B上滑动时，以AB整体为研究对象可知，AB组成的系统动量守恒，由此可以求出AB速度相等时的速度；当A和B速度刚好相等时B就与挡板相碰，则此时B与挡板的距离最短，由于B做初速度为0的匀加速直线运动，求出B的加速度，（1）问求出的末速度可以求出在这过程中B板的位移即B与挡板的最短距离；当A减速运动至和B一起运动的过程中可以求出A在B板上滑动的距离L₁，当B与挡板碰撞后，B的速度立即反向，而A将继续向右运动，根据运动规律可以求出A再次与B速度相等的过程中，A相对于B滑动的距离L₂，而木板B的长度L至少为L₁+L₂

解答：解：（1）A在B上滑动至AB速度相等的过程中，以AB组成的系统满足动量守恒，令B与挡板相碰时的速度为v₁，则根据动量守恒有：
mv₀=（m+M）v₁
∴v1=

m

m+M

v0=

1

1+2

×6m/s=2m/s
（2）由题意可知，当AB速度相等时，B就与挡板相碰，则在这一过程中有B距挡板距离S最短：
对B进行受力分析，B在竖直方向受力平衡，水平方向受到A给B的摩擦力使B产生加速度a
则a=

F合

M

=

f

M

=

μmg

M

=

0.2×1×10

2

m/s2=1m/s²
所以B在速度由0增加到2m/s的过程中产生的位移
s=

v12

2a

=

22

2×1

m=2m
（3）在A滑上B至B与挡板相碰的过程中，A、B间相对位移为L₁，则根据动能定理有：
μmgL1=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(m+M)

v

2 1

代入数据可解得L₁=6m
B与挡板相碰后速度立即反向，即以2m/s向左运动，A由于惯性仍以2m/s向右运动，上后根据动量守恒可得A与B速度再次相同时的速度v₂
取向左为正方向，则据动量守恒有：
Mv_M+mv_m=（m+M）v₂
即：v2=

MvM+mvm

m+M

=

2×2-1×2

1+2

m/s=

2

3

m/s
在这一过程中，A、B相对位移为L₂，根据动能定理有：
μmgL2=

1

2

(M+m)

v

2 1

-

1

2

(m+M)

v

2 2

代入数据可以解得：L₂=2.67m
所以B板的长工L至少为L=L₁+L₂=6+2.67m=8.67m．
答：（1）B与挡板相碰时的速度大小为2m/s；
（2）S的最短距离2m；
（3）木板B的长度L至少要8.67m．

点评：解决本题的关键是A与B组成的系统在碰撞过程中满足动量守恒，B在运动过程中遵循牛顿第二定律，A在B上滑动时，A相对于B滑动的位移为相对位移，摩擦力在相对位移上做的功等于系统机械能的损耗．