Question

如图16所示，A、B、C是三个完全相同的物块，质量均为m，其中物块A、B用轻弹簧相连，将它们竖直放在水平地面上处于静止状态，此时弹簧的压缩量为x₀。已知重力加速度为g，物块的厚度及空气阻力均可忽略不计，且在下面所述的各过程中弹簧形变始终在弹性限度内。

（1）若用力将物块A竖直向上缓慢提起，使物块B恰好能离开水平地面，求此过程中物块A被提起的高度。

（2）如果使物块C从距物块A高3x₀处自由落下，C与A相碰后，立即与A粘在一起不再分开，它们运动到最低点后又向上弹起，物块A刚好能回到使弹簧恢复为原长的位置。求C与A相碰前弹簧的弹性势能大小。

（3）如果将物块C从距物块A上方某处由静止释放， C与A相碰后立即一起向下运动但并不粘连。此后物块A、C在弹起过程中分离，其中物块C运动到最高点时被某装置接收，而物块A刚好能在物块B不离开地面的情况下做简谐运动。求物块C的释放位置与接收位置间的距离。

Answer 1

（1）设弹簧劲度系数为k，物块A、B用轻弹簧相连接，竖直放置时，弹簧被压缩，A处于平衡状态，此时弹簧压缩量  x₀=mg/k

缓慢提起A到B将要离开水平地面时弹簧伸长x₁，此时物块B所受重力和弹力平衡，所以弹簧伸长量  x₁=mg/k= x₀     …………………………………………………………（1分）

物块A向上提起的高度     L= x₀+ x₁=2x₀      ……………………………………（1分）

（2）设C自由落下到与A相碰前的速度为v₁，由机械能守恒定律有

    mg·3x₀=mv₁² ……………………………………………………………………（1分）

设C与A相碰后一起向下运动的初速度为v₂，根据动量守恒定律有

mv₁=2mv₂   ……………………………………………………………………………（1分）

    设C与A相碰前弹簧的弹性势能为E_p。 物块A、C运动到最低点后又向上弹起，刚好能回到使弹簧恢复为原长的位置过程中，A、C与弹簧组成的系统机械能守恒，有

2mv₂²+E_p=2mgx₀   ………………………………………………………………（1分）

联立以上各式，解得：E_p=mgx₀ ………………………………………………（1分）

说明：另一解法是直接运用弹性势能公式：　mg=kx₀，k=mg/x₀，则E_p=kx₀=mgx₀

　　这种解法同样得4分。

（3）设物块C释放位置到物块A的高度差为h₀，与物块A碰撞前速度为v₃，由机械能守恒定律有：

 设C与A相碰后一起向下运动的初速度为v₄，根据动量守恒定律有

mv₃=2mv₄

 物块A、C一起向下压缩弹簧后向上弹起，到达弹簧原长时C与A分离，设分离时的速度为v₅，对此过程由机械能守恒定律有

2mv₄²+E_p=2mgx₀+2mv₅²……………………………………………………（1分）

 之后，物块C向上做匀减速运动，设上升的高度为h，则根据机械能守恒定律有

mv₅²=mgh，   解得  …………………………………………………（1分）

     因物块A刚好能在物块B不离开地面的情况下做简谐运动，结合第（1）问可知，物块A运动到最高点时，弹簧形变量为x₀。所以物块A运动到最高点时弹簧的弹性势能与物块A处于静止状态时弹簧的弹性势能相等。

     所以对物块A从弹簧恢复原长位置运动到最高点过程中，由机械能守恒定律有

 mv₅²=mgx₀+E_p……………………………………………………………………（1分）

     联立以上各式，解得：h₀=9x₀，h=1.5x₀。

     由几何关系可知，物块C的释放位置与接收位置间的距离

    Δh=h₀-x₀-h=6.5x₀ ……………………………………………………………………（1分）