Question

3．如图所示，直角三角形OAC（a=30°）区域内有B=0.5T的匀强磁场，方向如图所示．两平行极板M、N接在电压为u的直流电源上，左板为高电势．一带正电的粒子从靠近M板由静止开始加速，从N板的小孔射出电场后，垂直OA的方向从P点进入磁场中．带电粒子的比荷为$\frac{q}{m}$=10⁵C/kg，OP间距离为L=0.3m．全过程不计粒子所受的重力，则：
（1）求粒子从OA边离开磁场时粒子在磁场中运动的时间；
（2）求粒子从OC边离开磁场时的最小电源电压U；
（3）求粒子OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中直线加速，在磁场中做匀速圆周运动，临界情况是轨迹圆与OC边相切；从AO边射出时轨迹是半圆，结合推论公式T=$\frac{2πm}{qB}$和t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解时间；
（2）粒子从OC边离开磁场时的最小电源电压U对应的轨迹是轨迹圆与OC边相切；最直线运动根据动能定理列式，对圆周运动根据牛顿第二定律列式，最后联立求解；
（3）根据公式t=$\frac{θ}{2π}T$，轨迹圆的圆心角最大时粒子在磁场中运动的时间最长，临界情况是轨迹圆与OC边相切．

解答 解：（1）带电粒子在磁场做圆周运动的周期为：
T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π}{1{0}^{5}×0.5}$=4π×10^-5s
当粒子从OA边射出时，粒子在磁场中恰好运动了半个周期：
t₁=$\frac{T}{2}$=2π×10^-5s
（2）当带电粒子的轨迹与OC边相切时为临界状态，如图所示：

结合几何关系，有：
R+$\frac{R}{sinα}$=L
解得：
R=0.1m
电荷被加速，则有：
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
磁场中：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：
U=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$=$\frac{1{0}^{5}×0．{5}^{2}×0．{1}^{2}}{2}$=125V
（3）粒子OC边边离开磁场，最大圆心角为120°，故粒子在磁场中运动的时间小于$\frac{1}{3}$周期，即：
$t＜\frac{T}{3}$=$\frac{4π}{3}×1{0}^{-5}s$
答：（1）粒子从OA边离开磁场时粒子在磁场中运动的时间为2π×10^-5s；
（2）粒子从OC边离开磁场时的最小电源电压U为125V；
（3）粒子OC边离开磁场时粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{4π}{3}×1{0}^{-5}s$．

点评 本题关键是明确粒子运动的运动性质，画出临界轨迹，然后结合动能定理和牛顿第二定律列式分析，不难．