Question

【题目】如图所示，质量为M=4kg倾角为α=37°的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k=10N/m、自然长度为L=1m的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m=1kg的物块。压缩弹簧使其长度为L/2时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g=10m/s2。

（1）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；

（2）求弹簧的最大伸长量；

（3）为使斜面始终处于静止状态，地面给斜面摩擦力什么时候最大，最大值多少？

Answer 1

【答案】（1）设物块在斜面上平衡时,弹簧伸长量为△L,有mgsinα-k△L=0,得：△L=,

当物块位移为x时，弹簧伸长量为x+△L，物块所受合力为F合=mgsinα-k(x+△L)联立以上各式解得F合=-kx，可知物块做简谐运动。 （2）1.7m （3）物块在最高点或最低点时，地面摩擦力最大 8.8N

【解析】试题分析：（1）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；（2）物体做简谐运动的振幅即为弹簧的最大伸长量；（3）当滑块处于任意位移x处时，能保持静止即可，对斜面体受力分析后根据平衡条件列式求解。

（1）设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为，根据平衡条件有：

解得：

当物块位移为x时，弹簧伸长量为，物块所受合力为

联立以上各式解得，可知物块做简谐运动。

（2）由题可知，物块做简谐振动的振幅为

由对称性可知,最大伸长量为

(3)物块在最高点或最低点时，地面摩擦力最大，则斜面体受力情况如图所示

根据平衡条件有：水平方向，又，

联立解得：