Question

8．火星探测器“勇气”号经过长时间飞行到达火星附近，成为一颗绕火星做圆周轨道运动的卫星．设“勇气”号距火星表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T．已知火星的球体半径为R，引力常量为G．
求：（1）火星的质量M；
（2）火星的密度ρ；
（3）火星表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根据探测器的万有引力等于向心力列式求解即可；
（2）根据球体密度公式求解
（3）在火星表面，在不考虑自转的情况下，物体的重力等于万有引力

解答 解：（1）探测器的万有引力等于向心力，故：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h）
解得：
M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（3）由重力等于万有引力，有：
mg=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h）
解得：
g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}}$
答：（1）火星的质量M为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）密度$\frac{3（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（3）火星表面的重力加速度g为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{T}^{2}}$

点评 本题关键是明确探测器的向心力来源，根据牛顿第二定律列式求解，同时要注意在火星表面，重力等于万有引力，基础题目