Question

13．如图所示，倾角为30°的光滑面固定在水平地面上，质量均为m的物块A与物块B并排放在斜面上个，斜面底端固定着与斜面垂直的挡板P，轻弹簧一段固定在挡板上，另一端与物块A连接，A、B处于静止状态，若A、B粘连在一起，用一沿斜面向上的力F_r缓慢拉物块B，当拉力F_r=$\frac{mg}{4}$时，A的位移为L；若A、B不粘连，用一沿斜面向上的恒力F作用在B上，当物块A的位移为L时，A、B恰好分离，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）恒力F的大小
（2）请推导F_r与物体A的位移l之间的函数关系并画出F_r-l图象，借鉴v-t图象求直线运动位移的思想和方法计算A缓慢推动L的过程中F_r做功大小；
（3）A、B不粘连，A与B刚分离时的速度大小

Answer 1

分析 （1）A、B粘连在一起时，用一沿斜面向上的力F_r缓慢拉物块B，当A、B缓慢移动L时弹簧的压缩量为x，根据平衡条件列式．若A、B不粘连，当物块A的位移为L时，A、B恰好分离，二者间的弹力恰好为零，对A和整体，分别根据牛顿第二定律列式，联立可求得F．
（2）根据胡克定律和平衡条件得到F_T与l的关系，画出F_r-l图象，根据F_r-l图象与l轴所围的面积表示功，来求解F_r做功大小．
（3）对题中两个过程分别运用动能定理列式，联立可求得A与B刚分离时的速度大小．

解答 解：（1）设弹簧的劲度系数为k，当A、B缓慢移动L时弹簧的压缩量为x，沿斜面方向根据平衡条件可得：
F_r+kx=2mgsinθ
当A、B恰好分离时二者之间的弹力恰好为零，对A，应用牛顿第二定律可得：
kx-mgsinθ=ma
对系统应用牛顿第二定律得：
F+kx-2mgsinθ=2ma
联立上式可得：F=$\frac{3}{4}$mg
（2）初始A、B静止时弹簧的压缩量为x₀，可得：
 kx₀=2mgsinθ
当A的位移为l时弹簧的压缩量为 x=x₀-l，根据平衡条件有：
F_r+kx=2mgsinθ
可得：F_r=kl
画出F_r-l图象如图所示．
A缓慢移动位移L，图象与坐标轴所围的面积如图中阴影部分，表示F_r做功，所以F_r做功大小为：
W_FT=$\frac{mgL}{8}$
（3）设A通过的位移为L的过程中弹簧弹力做功大小为W，分别对两个过程应用动能定理得：
W_FT-2mgLsinθ+W=0-0
W_F-2mgLsinθ+W=$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$-0
又 W_F=FL
解得：v=$\sqrt{\frac{5gL}{8}}$
答：（1）恒力F的大小是$\frac{3}{4}$mg．
（2）如图所示．F_r做功大小为$\frac{mgL}{8}$．
（3）A、B不粘连，A与B刚分离时的速度大小为$\sqrt{\frac{5gL}{8}}$．

点评 本题要分析清楚两个物体的运动过程，对于缓慢的情形，运用平衡条件研究．运用动能定理解题，关键选择合适的研究过程，分析过程中有哪些力做功．