Question

16．如图甲所示，平行放置的金属板A、B间电压为U₀，中心各有一个小孔P、Q；平行放置的金属板C、D间电压变化规律如图乙，板长和板间距均为L；粒子接收屏M与D板夹角为127°．现从P点处连续不断地有质量为 m、带电量为+q的粒子放出（粒子的初速度可忽略不计），经加速后从Q点射出，贴着C板并平行C板射入，经周期T粒子恰好通过C、D间电场（粒子间相互作用力忽略不计，重力不计，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．

（1）T 与上述物理量之间应满足怎样的关系；
（2）若在t=0时刻进入C、D间电场的粒子恰从D板边缘飞出，则U为多少？并求此粒子射出时的速度v；
（3）在（2）的条件下，欲使从C、D间飞出的粒子汇聚在M板上某一点，并使在t=$\frac{T}{2}$时刻进入C、D间的粒子垂直打在M板上，可在C、D右边某处加一垂直纸面的匀强磁场，试求磁感应强度B的大小和磁场的最小面积S_min．

Answer 1

分析 （1）先由动能定理求出电场加速获得的速度．粒子进入CD间，水平方向做匀速直线运动，由L=v₀T求解T．
（2）若在t=0时刻进入C、D间电场的粒子恰从D板边缘飞出，粒子在CD间先做类平抛运动，后沿速度方向做匀速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解．
（3）在t=$\frac{T}{2}$时刻进入C、D间的粒子，竖直分位移最小，由位移公式求出竖直分位移最小值，并由几何关系得到粒子束的宽度．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由数学知识求得轨道半径，从而由牛顿第二定律可求得B．由几何知识求解磁场的最小面积S_min．

解答 解：（1）电场加速过程，有：qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
粒子在C、D间运动过程，有：
L=v₀T         
解得：T=$\sqrt{\frac{m{L}^{2}}{2q{U}_{0}}}$；
（2）粒子在C、D间电场中运动时的加速度：a=$\frac{qU}{mL}$              
在t=$\frac{T}{2}$时刻竖直分速度：v_y=a$•\frac{T}{2}$                  
竖直位移 L=$\frac{0+{v}_{y}}{2}•\frac{T}{2}$+v_y$•\frac{T}{2}$       
解得：U=$\frac{16}{3}{U}_{0}$                      
射出时速度方向与射入方向间的夹角：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
解得：tanα=$\frac{4}{3}$，α=53°          
射出时速度的大小为：v=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{5}{3}\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$；   
（3）在t=$\frac{T}{2}$时刻进入C、D间的粒子，y_min=$\frac{0+{v}_{y}}{2}•\frac{T}{2}$=$\frac{L}{3}$     
其速度大小和方向与t=0时刻进入的粒子相同，平行于M板
粒子束的宽度为：d=$\frac{2L}{3}cos53°$=$\frac{2L}{5}$                    
粒子在磁场中做匀速圆周运动：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子在磁场中的半径为：r=d=$\frac{2L}{5}$                       
解得：B=$\frac{25}{6L}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$                       
最小面积为：S_min=2（$\frac{1}{4}π{r}^{2}$-$\frac{1}{2}{d}^{2}$）=$\frac{2（π-2）}{25}{L}^{2}$．
答：（1）T 与上述物理量之间应满足的关系是T=$\sqrt{\frac{m{L}^{2}}{2q{U}_{0}}}$；
（2）U为$\frac{16}{3}{U}_{0}$，此粒子射出时的速度v大小为$\frac{5}{3}\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，方向与射入方向间的夹角为53°．
（3）磁感应强度B的大小是$\frac{25}{6L}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$，磁场的最小面积为$\frac{2（π-2）}{25}{L}^{2}$．

点评 本题关键是分析带电粒子的运动情况，确定出临界条件，运用牛顿第二定律和运动学规律结合进行求解．