Question

3．如图所示，绷紧的传送带．始终以2m/s的速度匀速斜向上运行，传送带与水平方向间的夹角θ=30°，现把质量为10kg的工件轻轻地放在传送带底端P，由传送带传送至顶端Q，已知PQ之间的距离为4m，工作与传送带间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，取g=10m/s²．
（1）求工件在传送带上运动的平均速度．
（2）若传送带与水平方向的夹角为60°，转动方向反向，速度大小不变，把工件放在Q处，求工件在传送带上运动时，相对于传送带滑行的位移．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出工件在传送带上匀加速直线运动的加速度，根据速度时间公式求出速度达到传送带速度经历的时间，根据速度位移公式求出匀加速直线运动的位移，从而得出匀速运动的位移，求出匀速运动的时间，结合总位移和总时间，求出工件在传送带上运动的平均速度．
（2）根据牛顿第二定律求出匀加速直线运动的加速度，根据运动学公式求出速度相等时，两者的相对位移大小，再根据运动学公式求出物块与传送带速度相等到滑到底端时的相对位移大小，从而得出全程相对传送带滑行的距离．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得，匀加速直线运动的加速度a=$\frac{μmgcos30°-mgsin30°}{m}$=μgcos30°-gsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}-10×\frac{1}{2}$=2.5m/s²．
则工件匀加速直线运动的时间${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{2}{2.5}s=0.8s$，匀加速直线运动的位移${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{4}{2×2.5}m=0.8m$，
匀速运动的时间${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}=\frac{4-0.8}{2}s=1.6s$，
则工件在传送带上运动的平均速度$\overline{v}=\frac{L}{{t}_{1}+{t}_{2}}=\frac{4}{0.8+1.6}m/s≈$1.67m/s．
（2）根据牛顿第二定律得，物块向下做匀加速直线运动的加速度${a}_{1}=\frac{mgsin60°+μmgcos60°}{m}$=$gsin60°+μgcos60°=5\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{1}{2}$=$7.5\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
速度相等经历的时间${t}_{3}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{2}{7.5\sqrt{3}}s$，
相对位移的大小$△x=v{t}_{3}-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=2×\frac{2}{7.5\sqrt{3}}-\frac{4}{15\sqrt{3}}$m=$\frac{4}{15\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{45}$m，
物块继续做匀加速直线运动的位移${x}_{2}=L-\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=4-\frac{4}{15\sqrt{3}}m$，
继续做匀加速直线运动的加速度大小a₂=gsin60°-μgcos60°=$5\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{1}{2}=2.5\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
根据${x}_{2}=v{t}_{4}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{4}}^{2}$得，代入数据解得t₄=0.95s．
则相对位移的大小△x₂=x₂-vt₄，代入数据解得△x₂=1.95m，
因为△x₂＞△x，开始相对传送带向上滑动，再相对于传送带向下滑动，则相对于传送带滑行的位移为△X=△x₂=1.95m．
答：（1）工件在传送带上运动的平均速度为1.67m/s；
（2）工件在传送带上运动时，相对于传送带滑行的位移为1.95m．

点评 解决本题的关键理清工件在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，本题分析工件运动规律较复杂，增加了题目的难度．