Question

如图所示，质量M=2

3

kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量m=

3

kg的小球B相连．今用跟水平方向成α=30⁰角的力F=10

3

N，拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，取g=10m/s²．求：
（1）运动过程中轻绳与水平方向夹角θ；
（2）木块与水平杆间的动摩擦因数为μ．
（3）当α为多大时，使球和木块一起向右匀速运动的拉力最小？

Answer 1

分析：M和m分别处于平衡状态，对m受力分析应用平衡条件可求得θ的数值，再对M受力分析应用平衡条件可求得木块与水平杆间的动摩擦因数，最后对整体受力分析表示出拉力F的表达式，讨论最小值即可．

解答：解：（1）对B进行受力分析，设细绳对B的拉力为T由平衡条件可得：
Fcos30°=Tcosθ，Fsin30°+Tsinθ=mg
代入数据解得：T=10

3

，tanθ=

3

3

，即：θ=30°
（2）对A进行受力分析，由平衡条件有
F_N=Tsinθ+Mg
f=Tcosθ
f=μF_N
解得：μ=

3

5

（3）对A、B整体进行受力分析，由平衡条件有：
F_N+Fsinα=（M+m）g
f=Fcosα=μF_N
联立得：Fcosα=μ（M+m）g-μFsinα
解得：F=

(M+m)gμ

cosα+μsinα

令：sinβ=

1

1+μ2

，cosβ=

μ

1+μ2

，即：tanβ=

1

μ

则：F=

(M+m)μg

(sinβcosα+cosβsinα) 1+μ2

=

(M+m)gμ

sin(α+β) 1+μ2

所以：当α+β=90°时F有最小值．所以：tanα=μ=

3

5

时F的值最小．即：α=arctan

3

5

答：（1）运动过程中轻绳与水平方向夹角θ为30°
（2）木块与水平杆间的动摩擦因数μ=

3

5

（3）当α=arctan

3

5

时，使球和木块一起向右匀速运动的拉力最小．

点评：本题为平衡条件的应用问题，选择好合适的研究对象受力分析后应用平衡条件求解即可，难点在于研究对象的选择和应用数学方法讨论拉力F的最小值，难度不小，需要细细品味．