Question

14．潮汐能是一种清洁能源，如图为潮汐发电的部分结构图，涨潮时大坝将水储存，保持高水位，当退潮时，利用大坝内外水位差，潮水流出推动水轮机转动，水轮机带动发电机组工作产生电能．已知某段时间潮水流经水轮机的速度大小为v，水轮机轮叶的直径为d，海水的密度为ρ，海水动能的k倍（k＜1）转化为电能．因不能看到发电机的内部结构，小辉同学猜想，发电过程可能有两种模式，第一种如图甲所示，圆形金属圈中充满垂直纸面向外的匀强磁场，金属杆OC绕圆心O匀速转动，转动的角速度为ω，已知金属圈的半径为R，金属棒OC=L，圆心与圆周间接入电阻r，其余电阻不计．第二种为“”形状金属杆MNPQGH在辐向磁场中也以角速度ω匀速转动，如图乙所示，图丙为发电机的截面图，已知NP=GQ=R，PQ=L，MH两端接入电阻r，其余电阻不计．
（1）试分别判断图甲、图乙中流过电阻r的电流方向；
（2）试求出发电机发电的功率；
（3）试求第一种猜想下金属圈内磁感应强度B₁与第二种猜想下PQ处的磁感应强度B₂的比值．

Answer 1

分析 （1）电流方向由右手定则判断．
（2）潮汐发电过程将海水的重力势能转化为电能，因为海水流入的量是一定的，所以两种模型的发动机的发电功率相同，根据能量守恒和功率公式列式求解．
（3）甲图是转动切割类型，由公式E=$\frac{1}{2}B{R}^{2}$ω得到功率P的表达式，乙图由公式公式E=BLRω得到功率P的表达式，再求B₁与B₂的比值．

解答 解：（1）由右手定则判断可知，图甲：流过电阻r的电流方向为：d→c．
图乙：流过电阻r的电流方向为：a→b．
（2）因为海水流入的量是一定的，所以两种模型的发动机的发电功率相同．
则△t时间内产生的电能为 
△E=$\frac{1}{2}（△m）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}•v△t•π（\frac{d}{2}）^{2}{v}^{2}$=$\frac{1}{8}πρ{d}^{2}{v}^{3}△t$
故发电机发电的功率为 P=$\frac{△E}{△t}•$k=$\frac{1}{8}kπρ{d}^{2}{v}^{3}$
（3）甲图中：感应电动势 E₁=$\frac{1}{2}{B}_{1}{R}^{2}$ω，电功率为：P₁=$\frac{{E}_{1}^{2}}{r}$=$\frac{{B}_{1}^{2}{R}^{4}{ω}^{2}}{4r}$
乙图中：感应电动势 E₂=B₂•L•Rω，电功率为：P₂=$\frac{{E}_{2}^{2}}{r}$=$\frac{{B}_{2}^{2}{L}^{2}{R}^{2}{ω}^{2}}{r}$
因为P₁=P₂=P，则得：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=$\frac{2L}{R}$
答：（1）图甲：流过电阻r的电流方向为：d→c．图乙：流过电阻r的电流方向为a→b．
（2）发电机发电的功率为 $\frac{1}{8}kπρ{d}^{2}{v}^{3}$．
（3）金属圈内磁感应强度B₁与第二种猜想下PQ处的磁感应强度B₂的比值为$\frac{2L}{R}$．

点评 本题考查能量守恒中的机械能与电能的转化问题，掌握两种转动切割方式产生的感应电动势公式是解题，对于甲图中，感应电动势公式E=$\frac{1}{2}B{R}^{2}$ω要在会推导的基础上记牢．