Question

2．如图所示，静止在光滑水平面上的长木板B，质量为M=2kg，长l₁=4.5m．与B等高的固定平台CD长l₂=3m，平台右侧有一竖直放置且半径R=1m的光滑半圆轨道DEF．质量m=1kg的小滑块A以初速度v₀=6m/s从B的左端水平滑上B，随后A、B向右运动，长木板B与平台CD碰撞前的瞬间，小滑块A的速度大小为v_A=4m/s，此时A、B还未达到共同速度．设长木板B与平台碰撞后立即被锁定，小滑块A可视为质点，小滑块A与平台B之间的动摩擦因数μ₁=0.2，小滑块A与平台CD之间的动摩擦因数μ₂=0.1，s=0.5m，g=10m/s²．求：
（1）长木板B与平台碰撞前的瞬间，B的速度大小是多少？
（2）小滑块A在半圆轨道上能达到的最大高度．
（3）小滑块A最终停在离木板B左端多远处？

Answer 1

分析 （1）对滑块和木板整体由动量守恒定律即可求解；
（2）对滑块从平台C点运动到D的过程中，在到最高点的过程中运用动能定理列式即可求解；
（3）下滑的过程中使用动能定理即可求解．

解答 解：（1）滑块在长木板上运动的过程中，水平方向没有外力，系统的动量守恒，取向右为正方向，则：
mv₀=mv_A+Mv₂
所以：${v}_{2}=\frac{m{v}_{0}-m{v}_{A}}{M}=\frac{1×6-1×4}{2}m/s=1$m/s
（2）滑块滑过平台CD到最高点的过程中摩擦力与重力做功，由动能定理得：
$-{μ}_{2}mg{l}_{2}-mgh=0-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入数据解得：h=0.5m＜1m
滑块没有到达与圆心等高的点，说明滑块一直在轨道上．
（3）由于圆轨道是光滑的，所以滑块回到D时的速度v_D：$-{μ}_{2}mg{l}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
得：${v}_{D}=\sqrt{10}$m/s
滑块返回C点时的速度v_C：$-{μ}_{2}mg{l}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
得：v_C=2m/s
由于长木板B与平台碰撞后立即被锁定，所以滑块重新滑上B后木板静止不动，设滑块在B上滑动的距离是x，则：
$-{μ}_{1}mgx=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入数据得：x=1m
小滑块A最终停在离木板B左端：L=l₁-x=4.5m-1m=3.5m
答：（1）长木板B与平台碰撞前的瞬间，B的速度大小是1m/s；
（2）小滑块A在半圆轨道上能达到的最大高度是0.5m．
（3）小滑块A最终停在离木板B左端3.5m．

点评 本题关键是对各个过程根据动能定理列式，同时结合牛顿运动定律和向心力公式列式后联立求解．