Question

7．如图甲所示，半径R=0.4m的光滑半圆形轨道固定于竖直平面内，圆形轨道的最低点与水平面相切，轻弹簧的左端固定，右端与质量m=1kg的物块接触（无栓接），将物块向左压缩弹簧至A点后，由静止释放，弹簧将物块弹出后，物块向右运动至B点前已经与弹簧脱离，并沿圆弧轨道恰好能通过最高点C点．物块与水平面间的动摩擦因数为μ，且μ随离A点的距离L按图乙所示规律变化，A、B两点间距L=2m，取g=10m/s²．求：
（1）物块到C端的速度的大小；
（2）物块经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力；
（3）物块释放前弹簧的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）根据向心力公式可求得最高点C点的速度；
（2）根据机械能守恒定律可求得B点的速度，再根据向心力公式可求得压力大小；
（3）根据图象的性质可求出平均摩擦力，再根据功能关系可求出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）物块恰好通过最高点C可知    $mg=m\frac{v_C^2}{R}$
解得${v}_{C}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}=2m/s$
（2）物块从B到C机械能守恒    $\frac{1}{2}mv_C^2+mg×2R=\frac{1}{2}mv_B^2$
解得  ${v_B}=\sqrt{20}m/s$
物块过B点时，根据牛顿第二定律     ${F_N}-mg=m\frac{v_B^2}{R}$
解得  F_N=60N
由牛顿第三定律可知物块对轨道的压力大小 ${F_N}^′=60N$，方向竖直向下   
 （3）因为动摩擦因数与物块位移成线性关系，所以物块所受滑动摩擦力大小与位移也成线性关系，故物块由A到B过程中，平均摩擦力为 
   $\overline{f}=\frac{0.25mg+0.75mg}{2}$=$\frac{1}{2}$mg
物块克服摩擦力做功为     ${W}_{f}=\overline{f}×L$=10J
物块从A到C过程功能关系${W}_{f}={E}_{P}-mg•2R-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
解得弹簧的弹性势能  E_P=20J
答：（1）物块到C端的速度的大小为2m/s
（2）物块经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力为60N； 方向竖直向下；
（3）物块释放前弹簧的弹性势能为20J．

点评 本题考查功能关系的应用以及向心力公式的应用，要注意明确图象的性质，能通过图象求解平均摩擦力大小，从而求出克服摩擦力所做的功．