Question

9．如图所示，匝数为100匝、面积为0.01m²的线圈，处于磁感应强度B₁为 $\frac{1}{π}$T的匀强磁场中．当线圈绕O₁O₂以转速n为300r/min匀速转动时，电压表、电流表的读数分别为7V、l　A．电动机的内阻r为1Ω，牵引一根原来静止的、长L为1m、质量m为0.2kg的导体棒MN沿轨道上升．导体棒的电阻R为1Ω，架在倾角为30°的框架上，它们处于方向与框架平面垂直、磁感应强度B₂为1T的匀强磁场中．当导体棒沿轨道由静止获得稳定速度，流过MN的电量为1.6C，这一过程中导体棒运动的时间为1s．不计框架电阻及一切摩擦，g取10m/s²．求：

（1）若线圈从图示位置转过90°开始计时，写出电动势的瞬时表达式；
（2）导体棒MN达到稳定速度时流过MN的电流的大小和方向；
（3）导体棒MN从静止至达到稳定速度，导体棒MN上所产生的热量．

Answer 1

分析 （1）从线圈处于与中性面垂直开始计时，电动势的瞬时表达式e=E_mcosωt．而E_m=NB₁Sω，由此求解．
（2）导体棒MN的稳定速度时有F=mgsinθ+B₂I′L，根据闭合电路的欧姆定律列方程，根据能量守恒和电功率计算公式联立求出稳定速度v，再求出电流强度，根据右手定则判断电流方向．
（3）根据电荷量计算公式求解位移，再根据动能定理和功能关系求解导体棒MN上所产生的热量．

解答 解：（1）线圈转动过程中电动势的最大值为E_m=NB₁Sω=NB₁S•2πn=$100×\frac{1}{π}×$0.01×$2×π×\frac{300}{60}$V=10V．
则线圈从中性面开始计时的电动势瞬时表达式为e=E_msinωt=10sin10πtV，
线圈从图示位置转过90°开始计时，则电动势瞬时表达式为e=E_mcosωt=10cos10πt V；
（2）棒达到稳定速度时，电动机的电流I=1A
电动机的输出功率P_出=UI-I²r=（7×1-1²×1）W=6W；
又P_出=Fv，
根据平衡条件可得F=mgsinθ+B₂I′L
而棒产生的感应电流I$′=\frac{E}{R}$=$\frac{{B}_{2}Lv}{R}$，
由以上各式代入数值，得棒的稳定速度v=2m/s；
根据电流I′=2A，根据右手定则可知电流方向M→N．
（3）设金属棒达到稳定速度过程中的位移为x，根据电荷量的计算公式q=$\overline{I}t=\frac{△Φ}{R}=\frac{{B}_{2}Lx}{R}$，
解得：x=1.6m；
对导体棒根据动能定理可得：P_出t-mgsinθ•x-W_A=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0，
所以克服安培力做的功W_A=4J；
根据功能关系可得导体棒MN上所产生的热量Q=W_A=4J．
答：（1）若线圈从图示位置转过90°开始计时，电动势的瞬时表达式为e=10cos10πt V；
（2）导体棒MN达到稳定速度时流过MN的电流的大小为2A，方向M→N；
（3）导体棒MN从静止至达到稳定速度，导体棒MN上所产生的热量为4J．

点评 解决本题的关键掌握从线圈处于中性面开始计时，电动势的瞬时表达式e=E_msinωt以及峰值E_m=NB₁Sω．在该题中第（3）问较难，因为棒子上升的过程为变加速运动，然后以稳定速度运动．根据能量守恒，以及抓住发动机的输出功率不变进行求解．