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5.如图所示,轨道由斜直轨道、凹形圆弧轨道和半径R=2.0m的圆弧管道(内径不计)组成,三部分轨道均光滑处于同一竖直平面内,且依次平滑连接,A 点为凹形圆弧轨道的最低点,B点为圆弧管道的最高点,圆弧管道的圆心O点与A点处在同一水平面上.一质量m=0.10kg、可视为质点的小球从斜直轨道上的P点无初速滑下,经过A点向B点运动,P点距A点所在水平面的高度h=2.5m,不计一切阻力,g=9.8m/s2
(1)小球滑到A点时,小球的速度为多大?
(2)小球经过B点时,轨道受到的作用力大小和方向?
(3)若仅改变圆弧管道半径R,试写出小球从B点射出的水平距离S表达式(用符号R、h表示).并求出S的最大值.

分析 (1)小球由P无初速的滑到A点过程中,只有重力做功,由机械能守恒列式求解;
(2)小球由P滑到B点过程,根据机械能守恒和牛顿运动定律列式求解;
(3)若R>h,小球不能到达B点,故S=0;若R≤h,小球到达B点后作平抛运动,根据平抛运动规律求解.

解答 解:(1)小球由P无初速的滑到A点过程中,只有重力做功,系统机械能守恒,有:
mgh=$\frac{1}{2}$mv2…①
解得:$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×9.8×2.5}m/s=7m/s$
(2)小球由P滑到B点过程,机械能守恒:
mg(h-R))=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$…②
假设小球在B点受向下压力,其受力如右图,由牛顿第二定律有:
$mg+F=m\frac{v_B^2}{R}$…③
②③式联立,得:F=-0.49N           
负号表示小球受到的轨道作用力方向与图示方向相反,竖直向上.根据牛顿第三定律,小球对轨道的作用力F?=0.49N,向竖直向下
(3)
i)若R>h,小球不能到达B点,故   S=0      
ii)若R≤h,小球到达B点后作平抛运动,有:
R=$\frac{1}{2}$gt2…④
S=vBt  …⑤
②④⑤式联立,得:$S=2\sqrt{R(h-R)}$…⑥
所以:$S=\left\{\begin{array}{l}0(R>h)\\ 2\sqrt{R(h-R)}(R≤h)\end{array}\right\}$…⑦
由⑥式,当R=h-R,即R=$\frac{1}{2}$h时,S取最大值Smax
代入数据得:Smax=h=2.5m              
答:(1)小球滑到A点时,小球的速度为7m/s;
(2)小球经过B点时,轨道受到的作用力大小为0.49N,方向为竖直向下;
(3)若仅改变圆弧管道半径R,小球从B点射出的水平距离S表达式:$S=\left\{\begin{array}{l}0(R>h)\\ 2\sqrt{R(h-R)}(R≤h)\end{array}\right\}$,S的最大值为2.5m.

点评 本题关键是对从P到A或P到B过程运用机械能守恒定律列式,同时根据支持力和重力的合力提供向心力列式求解,题目较难,尤其是最后一问要注意分情况讨论.

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