Question

如图所示，半径R=0.8m的光滑

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4

圆弧轨道固定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块，小物块由静止开始下落后恰好沿切线进入

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圆弧轨道．此后小物块将沿圆弧轨道下滑，已知AO连线与水平方向的夹角θ=45°，在轨道末端C点紧靠一质量M=3kg的长木板，木板上表面与圆弧轨道末端的切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s²．求：
（1）小物块刚到达C点时的速度大小；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为多少？

Answer 1

分析：（1）小物块从A处运动到C点的过程中，只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒，得出小物块滑到C点时的速度大小v_C．
（2）在C点小物块受到重力和轨道对它的竖直向上的支持力，根据牛顿第二定律列式，可计算出小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时轨道对小物块的支持力的大小，再根据牛顿第三定律，得出小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力．
（3）小物块滑上长木板，与长木板发生相对滑动的过程中，先对系统研究，运用动量守恒定律mv_C=（M+m）v，求出小物块和长木板的共同速度v；
再对小物块研究，运用动能定理列式，求出小物块在该过程中相对于地面所发生的位移x_m；再对长木板，运用动能定理，求出长木板在该过程中相对于地面所发生的位移x_M；则要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为x_m-x_M．或根据牛顿第二定律和运动学公式及系统的能量守恒定律求解．

解答：解：（1）小物块从A到C，根据机械能守恒有：
 mg?2R=

1

2

mv

2 C

，
解得：v_C=

4gR

=

4×10×0.8

m/s=4

2

m/s．
（2）小物块刚要到C点，由牛顿第二定律有：
 F_N-mg=

m v 2 C

R

，
解得：F_N=mg+

m v 2 C

R

=1×10+

1×(4 2 )2

0.8

N=50N．
由牛顿第三定律，小物块对C点的压力F_N′=50N，方向竖直向下．
（3）设小物块刚滑到木板右端时达到共同速度，大小为v，小物块在长木板上滑行过程中，小物块与长木板的加速度分别为
 a_m=

μmg

m

 a_M=

μmg

M

由运动学公式得：v=v_C-a_mt，v=a_Mt                                      
由能量守恒定律得：-μmgL=

1

2

（M+m）v²-

1

2

mv

2 C

     
联立解得：L=4m．
答：（1）小物块刚到达C点时的速度大小为4

2

m/s；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力为50N；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为4m．

点评：该题是一道综合题，综合运用了机械能守恒定律、动能定理、动量定理、牛顿第二定律以及牛顿第三定律，解决本题的关键熟练这些定理、定律的运用．