Question

17．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，A、B分别为最高点和最低点（图中未标出），外圆光滑内圆粗糙．一质量为m=0.2kg的小球从轨道的最低点以水平向右的初速度v₀开始运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径R=0.5m，重力加速度g取10m/s²，不计空气阻力，设小球过最低点B时重力势能为零，下列说法中正确的是（　　）

• A． 若小球运动到最高点A时速度为0，则小球机械能一定不守恒
• B． 若小球第一次运动到最高点时速度大小为0，则v₀一定等于2$\sqrt{5}$m/s
• C． 若要小球不挤压内轨，则v₀一定不小于5m/s
• D． 若小球开始运动时初动能为1.6 J，则足够长时间后小球的机械能为1 J

Answer 1

分析 内圆粗糙，小球与内圆接触时要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，机械能不守恒；
外圆光滑，小球与外圆接触时不受摩擦力作用，只有重力做功，机械能守恒，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律分析答题．

解答 解：A、若小球运动到最高点时受到为0，则小球在运动过程中一定与内圆接触，受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，机械能不守恒，故A正确；
B、如果内圆光滑，小球在运动过程中不受摩擦力，小球在运动过程中机械能守恒，如果小球运动到最高点时速度为0，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R，小球在最低点时的速度${v}_{0}=2\sqrt{gR}=2\sqrt{10×0.5}m/s=2\sqrt{5}m/s$，由于内圆粗糙，小球在运动过程中要克服摩擦力做功，则小球在最低点时的速度应大于2$\sqrt{5}$m/s，故B错误；
C、小球如果不挤压内轨，则小球到达最高点速度最小时，小球的重力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，由于小球不挤压内轨，则小球在整个运动过程中不受摩擦力作用，只有重力做功，机械能守恒，从最低点到最高点过程中，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R，解得：v₀=5m/s，则小球要不挤压内轨，速度应大于等于5m/s，故C正确；
D、根据${E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$得小球的初速度为${v}_{0}=\sqrt{\frac{2{E}_{K}}{m}}=\sqrt{\frac{2×1.6}{0.2}}m/s=4m/s$＜5m/s，则小球在运动过程中要与内轨接触，要克服摩擦力做功，机械能减少，最终小球将在轨道的下半圆内做往复运动，到达与圆心同高位置处速度为零，则小球的最终机械能为：E=mgR=0.2×10×0.5=1J，故D正确；
故选：ACD．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行求解．