Question

2．如图所示竖直放置的光滑圆弧形球面，半径R较大，在球面中心O正上方高h处放置一个小球A，当A自由下落的同时，另一个小球B从B′处（OB′远远小于R）由静止沿圆弧滚下，为使两球相撞，h应满足什么条件？

Answer 1

分析 根据高度求出B球下落的时间表达式．根据周期性得出时间与小球A周期的关系，再求解B球下落的高度h．

解答 解：B做自由落体下落的高度h，时间为t，则有：
h=$\frac{1}{2}$gt²
半径R很大的光滑弧形小槽，对应的圆心角教小，所以A做简谐运动，其周期为：
T=2π $\sqrt{\frac{R}{g}}$
若两球能够相遇则在时间上有：
t=$\frac{n}{2}$T+$\frac{1}{4}$T（n=0，1，2，3，4…）
联立得：h=$\frac{（2n+1）^{2}{π}^{2}}{8}$R （n=0，1，2，3，4…）
答：B球下落的高度为$\frac{{（2n+1）}^{2}{π}^{2}}{8}$R（n=0，1，2，3…）．

点评 光滑圆弧形槽所对圆心角小于10°时类似单摆，做简谐运动，等效摆长等于半径，具有周期性．