Question

12．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星系中的一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运动的轨道和地球绕太阳运动的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有（　　）

• A． 行星的向心力与地球的向心力之比
• B． 恒星的密度与太阳的密度之比
• C． 恒星的质量与太阳的质量之比
• D． 行星的向心加速度与地球公转向心加速度之比

Answer 1

分析 根据行星的万有引力等于向心力，结合行星的轨道半径和公转周期列式求出恒星质量的表达式进行讨论即可．

解答 解：行星绕恒星做匀速圆周运动，设恒星质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得：$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$…①
故太阳的质量为：$M′=\frac{4{π}^{2}r{′}^{2}}{GT{′}^{2}}$…②
A、由于不知道行星和地球质量的关系，所以无法求得行星的向心力与地球的向心力之比，故A错误；
B、恒星的密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4π{{\;}^{2}r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，由于不知道恒星和太阳的半径，所以无法求得恒星的密度与太阳的密度之比，故B错误；
C、由于地球的公转周期为1年，根据①②式可以求得恒星质量与太阳质量之比，故C正确；
D、根据$a=\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$且已知行星和地球的轨道半径和周期关系，故可求行星的向心加速度与地球公转向心加速度之比，故D正确；
故选：CD．

点评 本题关键是根据行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，列方程求出太阳和恒星的质量和环绕速度，然后分析即可．