Question

（2011?上海模拟）如图所示，光滑曲面轨道置于高度为H=1.8m的平台上，其末端切线水平．另有一长木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面间，构成倾角为θ=37°的斜面，整个装置固定在竖直平面内．一个可视作质点的质量为m=0.1kg的小球，从光滑曲面上由静止开始下滑（不计空气阻力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若小球从高h=0.45m处静止下滑，则小球离开平台时速度v₀的大小是多少？
（2）若小球下滑后正好落在木板的末端，则释放小球的高度h为多大？
（3）试推导小球下滑后第一次撞击木板时的动能与它下滑高度h的关系表达式，并作出E_k-h图象．

Answer 1

分析：（1）小球下滑过程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解；
（2）先根据平抛运动的位移公式求解出平抛的初速度，然后对沿斜面下滑过程运用机械能守恒定律列式求解；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根据位移时间关系公式得到运动时间，再求出水平和竖直分速度后合成合速度，得到动能的一般表达式，再作图．

解答：解：（1）小球从曲面上滑下，只有重力做功，由机械能守恒定律：
mgh=

1

2

m

v

2 0

    ①
解得 v0=

2gh

=3m/s
即小球离开平台时速度v₀的大小是3m/s．
（2）小球离开平台后做平抛运动，小球正好落到水平地面木板的末端，则
H=

1

2

gt2      ②

H

tanθ

=v₁t    ③
联立②③式得：v₁=4m/s
设释小球的高度为h₁，则：mgh1=

1

2

m

2 1

解得
h1=

v 2 1

2g

=0.8m
即释放小球的高度h为0.8m．
（3）由机械能守恒定律可得：mgh=

1

2

m

v

2 0

小球由离开平台后做平抛运动，可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，则：
y=

1

2

gt2     ④
x=v₀t       ⑤
tan37°=

y

x

   ⑥
v_y=gt    ⑦

v

2 t

=

v

2 0

+

v

2 y

   ⑧
EK=

1

2

m

v

2 t

   ⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨式得：E_k=3.25h  ⑩
考虑到当h＞0.8m时小球不会落到斜面上，其图象如图所示

点评：本题关键是将平抛运动沿着水平和竖直方向正交分解，根据位移时间关系公式和速度时间关系列式，同时对沿斜面加速过程运用机械能守恒定律列式后联立求解．