Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，x轴上方存在与y轴负方向成45°角的匀强电场，电场强度大小为E，在x轴下方存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，现有一质量为m，电荷量为q的质子从y轴正半轴上的P点静止释放，经电场加速后以速度v₀第一次进入磁场，不计粒子重力．求：
（1）P点纵坐标y的值；
（2）质子第二次经过x轴时的横坐标x的值；
（3）质子从P点释放到第三次到达x轴所用的时间t．

Answer 1

分析：（1）电场力对带电粒子做功，W=qEd，d=

2

y，
（2）带电粒子在磁场中运动的轨迹是

1

4

圆，△x=

2

r；
（3）带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系，带电粒子做类平抛运动．

解答：解：（1）电场力对带电粒子做功等于粒子动能的变化，即：
qEd=

1

2

m

v

2 0

，得：d=

m v 2 0

2qE

又：d=

2

y，d=

2

x1
所以：y=

2 m v 2 0

4qE

；x1=

2 m v 2 0

4qE

（2）带电粒子在磁场中运动的轨迹是

1

4

圆，如图，△x=

2

r；

洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，则：qv0B=

m v 2 0

r

得：△x=

2 mv0

qB

；
所以：x2=x1+△x=

2 m v 2 0

4qE

+

2 mv0

qB

（3）带电粒子第一次在电场中时：d=

1

2

a

t

2 1

=

qE

2m

?

t

2 1

解得：t1=

mv0

qE

；
带电粒子在磁场中运动的周期：2πr=v?T，
运动的时间：t2=

T

4

=

πm

2qB

带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系x′y′，带电粒子做类平抛运动如图．
则：x′=v₀t₃；y′=

1

2

a

t

2 3

=

qE

2m

?

t

2 3

；
又：x′=y′；
解得：t3=

2mv0

qE

质子从P点释放到第三次到达x轴所用的时间：t=t1+t2+t3=

3mv0

qE

+

πm

2qB

答：（1）P点纵坐标y的值y=

2 m v 2 0

4qE

；
（2）质子第二次经过x轴时的横坐标x的值

2 m v 2 0

4qE

+

2 mv0

qB

；
（3）质子从P点释放到第三次到达x轴所用的时间：

3mv0

qE

+

πm

2qB

．

点评：带电粒子的运动分别是匀加速直线运动、匀速圆周运动和类平抛运动，带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系x′y′来分析粒子的运动是解决该题的关键，要求有较强的分析问题的能力和知识的迁移能力．属于比较难的题目．