Question

如图，水平地面上方有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直档板，板高h=9m，与板等高处有一水平放置的篮筐，筐口的中心离挡板s=3m．板的左侧以及板上端与筐口的连线上方存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T；质量m=1×10^-3kg、电量q=-1×10^-3C、直径略小于小孔宽度的带电小球（视为质点），以某一速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与档板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中，g=10m/s²，求：
（1）电场强度的大小与方向；
（2）小球运动的最大速率；
（3）小球运动的最长时间．

Answer 1

分析：（1）小球做匀速圆周运动，故电场力与重力平衡，根据平衡条件列式求解；
（2）洛伦兹力提供向心力，故半径越大，速度越大，当小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，根据几何关系求解出半径，然后求解最大速度；
（3）要求最长时间，需求最大圆心角，画出轨迹，根据几何关系得到半径的可能值，然后求解最长时间．

解答：解：（1）因小球能做匀速圆周运动，所以有：Eq=mg
解得：E=

mg

q

=10N/C
方向竖直向下
（2）洛仑兹力提供向心力有：qvB=m

v 2

R

且 T=

2πR

v

得：T=2π≈6.28s

小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，如图1所示，由几何知识可得：
(h-Rm)2+s2=Rm2
求得：R_m=5m    
vm=

BqR1

m

=5m/s
（3）因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在档板的竖直线上  
R≥s=3m
设小球与档板碰撞n次，其最大半径为

h

2n

要击中目标必有：

h

2n

≥3，

9

2n

≥3，解得：n≤1.5，故n只能取0，1…
当n=0，即为（2）问中的解
当n=1，时可得：
（h-3R）²+s²=R²
（9-3R）²+3²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
R₂=3.75m时轨迹对应的圆心角最大，其运动轨迹如图2中的轨迹①所示，故运动时间最长，有：
t=

1

2

T+

3

4

T+

37°

360°

T=

5

4

T+

37

360

T=(

5

4

+

37

360

)×

2πm

qB

=(

5

4

+

37

360

)×

2π×0.001

0.001×1

=≈8.45 s
（3）因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在档板的竖直线上  R≥s=3m
设小球与档板碰撞n次[h-（2n+1）R]²+s²=R²
代入得：2n（n+1）R²-9（2n+1）R+45=0
使R有解必须有△≥0，代入得：4n²+4n-9≤0，可得：-2.07≤n≤1.07
n只能取0，1  （以下同上）
（3）要求最小速度，需求最小半径，由几何关系得：（nR-h）²+s²=R²或（h-nR）²+s²=R²
整理得：（n-1）R²-18nR+90=0
此方程R有解，则有：（-18n）²-4×（n²-1）×90≥0
得 n≤

10

所以：n=1或n=3（n为奇数）
（以下同上）
答：（1）电场强度的大小为10N/C，方向为竖直向下；
（2）小球运动的最大速率为5m/s；
（3）小球运动的最长时间为8.45 s．

点评：本题关键明确小球的运动规律，找到向心力来源，画出轨迹，然后根据几何关系求解半径，再联立方程组求解．