Question

一根长L=80cm的绳子系着一个小球，小球在竖直平面内做圆周运动，已知球的质量为m=0.5kg，g取10m/s²，求：
（1）试确定到达最高点时向心力的最小值
（2）当小球在最高点时的速度为3m/s，绳对小球的拉力
（3）试证明：在能够完成竖直平面内做圆周运动的情况下，无论小球的初速度怎样，在最低点和最高点时绳子上的张力差总为30N．（不计空气阻力）

Answer 1

分析：（1）当重力恰好提供向心力时，向心力最小．
（2）根据拉力和重力的合力提供向心力列式求解．
（3）设最高点速度为v₁，根据动能定理求解最低点速度v₂，然后根据重力和拉力的合力提供向心力列式后联立求解．

解答：解：（1）小球在最高点受重力和拉力，合力提供向心力，当拉力为零时，向心力最小，为mg=5N；
（2）当小球在最高点时的速度为3m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有：
F+mg=m

v2

R

解得：F═m

v2

R

-mg=0.625N；
（3）设最高点速度为v₁，最低点速度v₂，根据动能定理，有：
mg?2R=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

；
最高点，有：mg+T₁=m

v 2 1

R

；
最低点，有：T₂-mg=m

v 2 2

R

；
拉力差为：△T=T₁-T₂；
联立解得：△T=6mg=30N；
答：（1）到达最高点时向心力的最小值为5N；
（2）当小球在最高点时的速度为3m/s，绳对小球的拉力为0.625N；
（3）证明如上．

点评：对于竖直平面内的圆周运动，只考虑最高点和最低点情况；
本题关键明确向心力来源，根据牛顿第二定律和机械能守恒定律后分析讨论，不难．