Question

13．如图所示，某人水平离开平台边缘A点时的速度v_A=4.0m/s，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道滑行．C为轨道的最低点，B、D为轨道与水平地面的连接点．已知人与滑板可视为质点，其总质量m=60.0kg，滑板与水平地面间的动摩擦因数为μ=0.1，空气阻力忽略不计，轨道半径R=2.0m，轨道BCD对应的圆心角θ=74°，g取10m/s²，cos37°=0.8，sin37°=0.6． 
（1）求人与滑板在B点的速度大小；
（2）求运动到圆弧最低点C时轨道对人支持力的大小．

Answer 1

分析 （1）人和滑板恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，说明在B点的速度沿B点的切线方向，由几何关系求解在B点的速度大小．
（2）人和滑板在光滑圆弧的运动过程中，只有重力做功，由机械能守恒求得C点速度，再根据牛顿第二定律求支持力．

解答 解：（1）据题，人和滑板恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，由几何关系得知此时人的速度方向与水平夹角α=37°．
则人与滑板在B点的速度大小 v_B=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=$\frac{4}{cos37°}$=5m/s
（2）人和滑板在光滑圆弧的运动过程中，只有重力做功，机械能守恒．则
 mgR（1-cos37°）+$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_C²
在C点，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 F_N=1590N
答：
（1）人与滑板在B点的速度大小是5m/s；
（2）运动到圆弧最低点C时轨道对人支持力的大小为1590N．

点评 解决本题的关键抓住无碰撞地从B点进入圆轨道，得出速度的方向．知道平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．以及知道知道在圆弧轨道的最低点，沿半径方向上的合力提供圆周运动的向心力．