Question

宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球（可视为质点）如图所示，现给小球一瞬间水平速度V，小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R．
（1）月球表面重力加速度g为多大？
（2）轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？

Answer 1

分析：（1）小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动，有mg=m

v12

r

，小球在光滑圆弧轨道运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒得出重力加速度的大小．
（2）根据万有引力提供向心力

GMm

(2R)2

=m(

2π

T

)2?2R，以及万有引力等于重力G

Mm

R2

=mg，联立解出环月卫星的周期．

解答：解：（1）设月球表面重力加速度为g，小球在最高点的速度为 v₁，由机械能守恒定律，小球在从最低点到最高点的过程中，有．
              

1

2

mv2=mg?2r+

1

2

mv12①
由题意，小球在最高点时，有．mg=m

v12

r

  ②
联解①②有． g=

v2

5r

故月球表面的重力加速度为g=

v2

5r

．
（2）设月球质量为M，对卫星有．

GMm

(2R)2

=m(

2π

T

)2?2R③
在月球表面，有．G

Mm

R2

=mg④
由③④，得T=2π

(2R)3 gR2

=

4π

v

10Rr

故环月卫星的周期为

4π

v

10Rr

．

点评：解决本题的关键会运用机械能守恒定律定律解题，知道小球在内轨道运动恰好过最高点的临界条件mg=m

v12

r

．以及掌握万有引力提供向心力

GMm

(2R)2

=m(

2π

T

)2?2R和万有引力等于重力G

Mm

R2

=mg．