Question

10．如图甲所示，MN、PQ是相距d=1m的足够长平行光滑金属导轨，导轨平面与水平面成某一夹角，导轨电阻不计；长也为1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，ab的质量m=0.1kg、电阻R=1Ω；MN、PQ的上端连接右侧电路，电路中R₂为一电阻箱；已知灯泡电阻R_L=3Ω，定值电阻R₁=7Ω，调节电阻箱使R₂=6Ω，重力加速度g=10m/s²．现断开开关S，在t=0时刻由静止释放ab，在t=0.5s时刻闭合S，同时加上分布于整个导轨所在区域的匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面斜向上；图乙所示为ab的速度随时间变化图象．
（1）求斜面倾角α及磁感应强度B的大小；
（2）ab由静止下滑x=50m（此前已达到最大速度）的过程中，求整个电路产生的电热；
（3）若只改变电阻箱R₂的值．当R₂为何值时，ab匀速下滑中R₂消耗的功率最大？消耗的最大功率为多少？

Answer 1

分析 （1）先研究乙图可知，在0-0.5s内ab做匀加速直线运动，由图象的斜率可求得加速度，由牛顿第二定律求出斜面的倾角．t=0.5s时，S闭合且加上了磁场，ab将先做加速度减小的加速运动，当速度达到最大（v_m=6m/s）后接着做匀速运动，根据平衡条件和安培力与速度的关系式结合，求解磁感应强度B的大小；
（2）ab下滑过程中，机械能减小转化为系统的内能，根据能量守恒定律求解整个电路产生的电热；
（3）ab匀速下滑时受力平衡，由平衡条件求出ab产生的感应电流I，由并联电路的规律求出通过R₂的电流，由功率公式和数学知识结合求解R₂消耗的最大功率．

解答 解：（1）S断开时，ab做匀加速直线运动，从图乙得：
a=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{3}{0.5}$m/s=6m/s²，
由牛顿第二定律有：mgsinα=ma
所以：sinα=$\frac{a}{g}$=$\frac{6}{10}$=0.6
所以α=37°
t=0.5s时，S闭合且加上了磁场，分析可知，此后ab将先做加速度减小的加速运动，当速度达到最大（v_m=6m/s）后接着做匀速运动，匀速运动时，由平衡条件有：
mgsinα=F_安，
又F_安=BId
I=$\frac{Bd{v}_{m}}{{R}_{总}}$
电路的总电阻：R_总=R_ab+R₁+$\frac{{R}_{2}{R}_{L}}{{R}_{2}+{R}_{L}}$=（1+7+$\frac{3×6}{3+6}$）Ω=10Ω
联立以上四式有：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{v}_{m}}{{R}_{总}}$
代入数据解得：B=$\sqrt{\frac{mgsinα{R}_{总}}{{d}^{2}{v}_{m}}}$=$\sqrt{\frac{0.1×10×0.6×10}{{1}^{2}×6}}$=1T
（2）由能量转化关系有：mgxsinα=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q
代入数据解得：Q=mgxsinα-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=28.2J
（3）改变电阻箱R₂的值后，ab匀速下滑时有：mgsinα=BdI
所以I=$\frac{mgsinα}{Bd}$=$\frac{0.1×10×0.6}{1×1}$A=0.6A
通过R₂的电流为：I₂=$\frac{{R}_{L}}{{R}_{L}+{R}_{2}}$I
R₂的功率为：P=I₂²R₂，
联立以上三式有：P=I²$\frac{{R}_{L}^{2}}{（{R}_{L}+{R}_{2}）^{2}}$R₂=I²$\frac{{R}_{L}^{2}}{（\frac{{R}_{L}}{\sqrt{{R}_{2}}}+\sqrt{{R}_{2}}）^{2}}$
当$\frac{{R}_{L}}{\sqrt{{R}_{2}}}$=$\sqrt{{R}_{2}}$时，即R₂=R_L=3Ω，功率最大，
所以P_m=$\frac{1}{4}{I}^{2}{R}_{L}$=$\frac{1}{4}×0．{6}^{2}×3$W=0.27W
答：（1）斜面倾角a为37°，磁感应强度B的大小为1T；
（2）整个电路产生的电热为28.2J；
（3）若只改变电阻箱R₂的值．当R₂为3Ω时，ab匀速下滑中R₂消耗的功率最大，消耗的最大功率为0.27W．

点评 本题是力电综合题，首先要从力学的角度分析ab棒的运动情况，掌握电路知识、电磁感应知识，运用数学求极值的方法研究电路中极值问题，对数学知识的能力要求较高，要加强训练，培养解决综合题的能力．