Question

（2010?淄博一模）如图所示，斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ=53°，BD为半径R=4m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，斜面轨道AB与圆弧轨道相切，整个光滑轨道处于竖直平面内．在A点，一质量m=1kg的小球由静止滑下，经过B、C点后从D点飞出去．设以竖直线MDN为分界线，其左边为阻力场区域，右边为真空区域，小球最后落到地面上的S点处时的速度大小v_s=8m/s．已知A点距离地面的高度H=10m，B点距离地面的高度h=5m，g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）小球经过B点的速度大小．
（2）小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力的大小．
（3）若小球从D点抛出，受到的阻力与其瞬时速度的方向始终相反，求小球从D点到S点过程中，阻力f所做的功．

Answer 1

分析：（1）对AB过程由动能定理或机械能守恒可求得小球经过B点的速度；
（2）由几何关系可知C点的高度，再由机械能守恒可求得小球在C点的速度；C点小球做圆周运动，由牛顿第二定律可求得C点的压力；
（3）可对全程分析，根据动能定理可求得阻力所做的功．

解答：解：（1）对AB过程由机械能守恒得：
mg（H-h）=

1

2

mv_B²；
解得：v_B=

2g(H-h)

=

2×10×(10-5)

=10m/s；
（2）由几何关系BC间的高度h′=R（1-cos53°）=1.6m；
可知，对AC过程由机械能定恒可得：
mg（H-h+h′）=

1

2

mv_c²；
而由牛顿第二定律可得：
F-mg=m

v 2 c

R

联立以上两式可得：
F=mg+

mg(H-h+h′)

R

=43N；
（3）对全程分析，全程中有重力、阻力做功，则由动能定理可得：
mgH+W_f=

1

2

mv²；
解得：
W_f=32J-100J=-68J．
答：（1）B点的速度大小为10m/s；（2）C点的支持力为43N；（3）阻力做功为-68J．

点评：对于多过程多力做功的题目，动能定理是最佳解题工具，只要找出过程中各力所做的功，即可由动能定理列式计算；
本题中注意几何关系的应用，∠COB应恰好等于53°．