Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX――3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．

(1)可见星A所受暗星B的引力F_a可等效为位于O点处质量为的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，运行周期T＝4.7 π×10⁴ s，质量m₁＝6 m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗．(G＝6.67×10^－11 N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg)

Answer 1

答案：
解析：

(1)本题综合考查万有引力定律、圆周运动、向心力公式、牛顿第二定律等知识．A、B绕着共同的圆心做半径不同的匀速圆周运动，它们之间的万有引力互为对方的向心力．解题时要抓住它们具有相同的角速度这一条件，然后利用万有引力充当向心力，分别研究A、B就可计算，得出结果．在第三问判断中，要充分利用好“如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞”这一条件． 　　设A、B圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω．由牛顿运动定律，有 　　FA＝m1ω2r1　FB＝m2ω2r2 　　FA＝FB 　　设A、B之间的距离为r，又r＝r1＋r2，由上述各式得r＝　① 　　由万有引力定律，有FA＝ 　　将①代入得FA＝，令FA＝ 　　比较可得＝．　② 　　(2)由牛顿第二定律，有　③ 　　又可见星A的轨道半径r1＝　④ 　　由②③④式解得．　⑤ 　　(3)将m1＝6ms 　　代入数据得＝3.5ms　⑥ 　　设m2＝nms(n＞0)，将其代入⑥式，得＝3.5ms　⑦ 　　可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得＝0.125ms＜3.5ms　⑧ 　　若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2ms，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．