Question

4．质量为1kg的钢球A，系在长为l=0.8m的绳子的一端，绳子的另一端固定．把绳子拉至水平位置后将球由静止释放，球在最低点与质量为5kg的钢块B发生弹性碰撞，钢块与水平地面动摩擦因数μ=0.5，求：（g=10m/s²） 
（1）碰撞后钢球升高的最大高度h，
（2）若钢球A质量可调节，但仍可看作质点，其它条件不变，钢块B在水平面上滑行的最远距离x．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出碰撞前A的速度，A球与钢块B发生弹性碰撞，动量和能量守恒，分别根据根据动量守恒定律和能量守恒列示，联立方程求出碰撞后A球的速度，再根据动能定理求解A上升的最大高度；
（2）碰撞后B球在水平面上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学基本公式求出滑行的最大位移，知道当B速度最大时，滑行距离最大，A与B发生弹性碰撞，能量守恒，当A球的能量全部转化为B的能量时，B速度最大，即当A球的质量与B质量相等时，AB碰撞后交换速度，从而求解最大距离．

解答 解：（1）A球释放的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=mgl$
解得：${v}_{A}=\sqrt{2×10×0.8}=4m/s$
A球与钢块B发生弹性碰撞，动量和能量守恒，设A的速度方向为正方向，则有：
根据动量守恒定律得：m_Av_A=m_Av′+m_Bv，
根据能量守恒得：$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}v{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{v}^{2}$
解得：$v′=-\frac{8}{3}m/s$，v=$\frac{4}{3}m/s$，
则碰撞后钢球反向，根据动能定理得：
升高的最大高度h=$\frac{v{′}^{2}}{2g}=0.36m$
（2）碰撞后B球在水平面上做匀减速直线运动，加速度a=$\frac{-μ{m}_{B}g}{{m}_{B}}=-0.5×10=-5m/{s}^{2}$，
钢块B在水平面上滑行的最远距离x=$\frac{0-{{v}_{B}}^{2}}{2a}=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{10}$，
则当B球速度最大时，滑行的距离最大，
A与B发生弹性碰撞，能量守恒，当A球的能量全部转化为B的能量时，B速度最大，即当A球的质量与B质量相等时，AB碰撞后交换速度，
则此时B的速度为v_B=4m/s，则x_max=$\frac{16}{10}=1.6m$
答：（1）碰撞后钢球升高的最大高度为0.36m；
（2）若钢球A质量可调节，但仍可看作质点，其它条件不变，钢块B在水平面上滑行的最远距离x为1.6m．

点评 本题主要考查了动量守恒定律和能量守恒定律得直接应用，知道弹性碰撞过程中，动量和能量都守恒，特别注意发生弹性碰撞时，若两物体质量相等，则速度交换．