Question

15．如图所示，竖直平面被分为足够长的I、II两个区域，这两个区域有垂直于竖直平面向里的匀强磁场，磁感应强度均为B．I区固定有竖直放置的平行金属薄板K、K′，极板间距离为d．II区用绝缘装置竖直固定两根电阻可忽略的金属导轨，导轨间距离为l，且接有阻值为R的电阻，导轨与金属板用导线相连．电阻为r、长为l的导体棒与导轨接触良好，在外力作用下沿导轨匀速向上运动．一电荷量为q、质量为m的带负电的小球从靠近金属板K的A处射入I区，射入时速度在竖直平面内且与K板夹角为45°，在板间恰能做直线运动．（重力加速度为g）
（1）求导体棒运动的速度v₁；
（2）若只撤去I区磁场，其它条件不变，要使小球刚好到达K′板上正对A的位置A′，极板间距离d应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）带负电的小球在板间恰能做直线运动，由于洛伦兹力与速度成正比，可知小球必定做匀速直线运动，分析其受力情况，由平衡条件和法拉第电磁感应定律、欧姆定律结合求解．
（2）若只撤去I区磁场，小球在电场力和重力的作用下做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式结合解答．

解答 解：（1）由题分析知小球在板间做匀速直线运动，受力分析如图所示．

有qE=mg
设竖直两板的电压为U．
根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律有：
  Blv₁=$\frac{U}{R}$（R+r）
另有U=Ed
解得 v₁=$\frac{mgd（R+r）}{BlqR}$
（2）撤去I区磁场，对小球进行受力分析，可知小球做类平抛运动．
设从A到A'的时间为t，加速度为a．
在合外力方向上，有 $\frac{d}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
初速度v₂方向上，有 $\frac{d}{\sqrt{2}}$=v₂t
根据上题得 F_合=Bqv₂=$\sqrt{2}$mg
由牛顿第二定律，有 F_合=ma
解得 d=$\frac{4{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}}$
答：
（1）导体棒运动的速度v₁为$\frac{mgd（R+r）}{BlqR}$．
（2）要使小球刚好到达K′板上正对A的位置A′，极板间距离d应满足的条件是d=$\frac{4{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}}$．

点评 解决本题的关键要正确分析小球的受力情况和运动情况，熟练运用运动的分解法处理类平抛运动．