Question

如图所示，两个相同的质量m=0.2kg的小球用长L=0.22m的细绳连接，放在倾角为30°的光滑斜面上．初始时刻，细绳拉直，且绳与斜面底边平行．在绳的中点作用一个垂直于绳沿斜面向上的恒力F=2.2N．在F的作用下两小球向上运动，小球沿F方向的位移随时间变化的关系式为s=kt²（k为恒量）．经过一段时间两个小球第一次碰撞，又经过一段时间再一次发生碰撞…．由于两小球之间有粘性，每一次碰撞后，小球垂直于F方向的速度将损失0.3m/s．当力F作用了2s时，两小球发生最后一次碰撞，且不再分开．取g=10m/s²，求：
（1）最后一次碰撞后，小球的加速度
（2）最后一次碰撞后瞬间，小球的速度
（3）整个碰撞过程中，系统损失的机械能
（4）两小球相碰的总次数．

Answer 1

分析：（1）小球发生最后一次碰撞，不再分开，加速度相同，将两个小球看成整体，根据牛顿第二定律求加速度a．
（2）最后一次碰撞结束时，两小球粘合成一个整体，由运动学公式求解最后一次碰撞结束时小球的速度；
（3）整个碰撞过程中，F做功为F（

L

2

+

1

2

at2），转化为两小球的动能和内能，根据功能关系列式求解；
（4）根据功能关系求第一次碰撞前，两球在水平、竖直两个方向的分速度v_x和v_y．根据条件：每一次碰撞后，小球垂直于F方向的速度将减小0.55m/s，即可求出碰撞的次数．

解答：解：（1）对两小球组成的整体分析，由牛顿第二定律有 a=

F-2mgsin30°

2m

=0.5m/s2…①
（2）∵小球沿F方向的位移随时间变化的关系式为S=kt²（k为恒量）
∴是匀加速运动v_t=at=0.5×2m/s=1m/s…②
（3）根据功能原理：△E=F(s+

L

2

)-2mgSin30°?s+

1

2

?2mvt2…③
F(

1

2

at2+

L

2

)-2mSin30°?

1

2

at2+

1

2

?2mvt2=0.242J
（4）假设在拉力作用的前2s内两球未发生碰撞，在2s时，小球沿F方向的分速度为v_x，垂直于F方向的分速度为v_y
根据动能定理：F(s+

L

2

)=2mgSin30°?s+

1

2

?2mvx2+

1

2

?2mvy2…④
  v_x=at…⑤
  s=

1

2

at2…⑥
解④、⑤、⑥得：v_y=1.1m/s
∵每次碰撞后小球垂直于F方向的速度将损失0.3m/s
∴n=

1.1

0.3

=3.67（次）≈4次  
答：
（1）最后一次碰撞后，小球的加速度为0.5m/s²．
（2）最后一次碰撞后瞬间，小球的速度是1m/s．
（3）整个碰撞过程中，系统损失的机械能是0.242J．
（4）两小球相碰的总次数是4次．

点评：本题关键采用整体法求水平方向的加速度，运用功能关系和运动学公式结合求碰前两个球的分速度．