Question

16．如图所示，在直角坐标系xOy平面内有一矩形区域MNPQ，矩形区域内有水平向右的匀强电场，场强为E；在y≥0的区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，半径为R的光滑绝缘空心半圆管ADO固定在坐标平面内，半圆管的一半处于电场中，圆心O₁为MN的中点，直径AO垂直于水平虚线MN，一质量为m、电荷量为q的带电粒子（重力不计）从半圆管的O点由静止释放，进入管内后从A点穿出恰能在磁场中做半径为R的匀速圆周运动．求
（1）该粒子带哪种电荷？匀强磁场的磁感应强度B的大小为多少；
（2）若粒子再次进入矩形区域MNPQ时立即撤去磁场，此后粒子恰好从QP的中点C离开电场．求矩形区域的边长MQ与R的关系．
（3）在满足（2）的基础上，求从A点运动到C点的时间．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可求得粒子的速度，再由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度；
（2）粒子在矩形区域内做类平抛运动，由运动的合成与分解知识可求得矩形区域的长宽；
（3）明确粒子在各过程中时间，则可求得总时间．

解答 解：（1）粒子要由静止进入管内，必须带正电．
粒子从O到A过程中由动能定理得：$qER=\frac{1}{2}m{v^2}$
从A点穿出后做匀速圆周运动，有：$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$    
解得：$B=\sqrt{\frac{2Em}{qR}}$
（2）粒子再次进入矩形区域后做类平抛运动，由题意得：
$R=\frac{1}{2}a{t^2}$           
$a=\frac{qE}{m}$         
$\overline{MQ}=vt$
联立解得：$\overline{MQ}=2R$
（3）粒子从A点到矩形边界MN的过程中，有：${t_1}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×\frac{2πR}{v}=\frac{1}{4}×\frac{2πm}{qB}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mR}{2qE}}$
从矩形边界MN到C点的过程中，有：${t_2}=\sqrt{\frac{2R}{a}}=\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
故所求时间为：$t={t_1}+{t_2}=（\frac{π}{4}+1）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
答：（1）磁感应强度为$\sqrt{\frac{2Em}{qR}}$；
（2）矩形区域的长度MN≥2R，宽度MQ≥2R；
（3）从A点运动到C点的时间为（$\frac{π}{4}$+1）$\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$

点评 本题中粒子先做类平抛运动，再做平抛运动；明确各种过程中的运动规律，选择正确的规律求解．要学会分析粒子的运动过程．