Question

6．如图所示，电阻忽略不计的、两根平行的光滑金属导轨竖直放置，其上端接一阻值为3Ω的定值电阻R．在水平虚线L₁、L₂间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B，磁场区域的高度为d=0.5m． 导体棒a的质量m_a=0.2kg，电阻R_a=3Ω；导体棒b的质量m_b=0．l kg、电阻R_b=6Ω，它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，都能匀速穿过磁场区域，且当b刚穿出磁场时a正好进入磁场． 设重力加速度为g=l0m/s²，不计a、b棒之间的相互作用．导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好．求：
（1）在整个过程中，a、b两棒分别克服安培力所做的功；
（2）M点和N点距L₁的高度；
（3）导体棒a从图中M处到进入磁场的时间．

Answer 1

分析 （1）棒匀速通过磁场，克服安培力所做的功等于重力做功．
（2、3）由法拉第定律、欧姆定律、力平衡等推导两棒在磁场中运动的速度，结合运动学公式，求出时间和高度．

解答 解：（1）根据功能关系得，W_a=m_agd=1.0J                  
                        W_b=m_bgd=0.5J                      
   （2、3）b在磁场中匀速运动时：速度为υ_b，总电阻R₁=7.5Ω
        b中的电流I_b=$\frac{BL{v}_{b}}{{R}_{1}}$ ①
       由以上各式得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{b}}{{R}_{1}}$=m_bg②
   同理，a棒：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{2}}$=m_ag      ③
    由以上各式得，$\frac{{v}_{b}}{{v}_{a}}$=$\frac{3}{4}$ ④
      又υ²=2gh  ⑤
    $\frac{{h}_{b}}{{h}_{a}}$=$\frac{9}{16}$ ⑥
   υ_a=υ_b+gt  ⑦
    d=υ_bt     ⑧
    由④⑤⑥⑦⑧得
         H_a=$\frac{4}{3}$ m                   ⑨
         H_b=$\frac{3}{4}$m                     ⑩
   解得导体棒a从图中M处到进入磁场的时间为t_a=$\frac{2}{15}\sqrt{15}$s
答：（1）在整个过程中，a、b两棒克服安培力所做的功分别为1.0J和0.5J；
 （2）M点和N点距L₁的高度分别为$\frac{4}{3}$ m 与$\frac{3}{4}$m；
（3）导体棒a从图中M处到进入磁场的时间$\frac{2}{15}\sqrt{15}$s．

点评 本题电磁感应中的力学问题，电磁与力联系桥梁是安培力，这种类问题往往要分析和计算安培力的大小．本题的关键是寻找两棒之间的关系式υ_a=υ_b+gt．