Question

【题目】天文学家燕燕发现有一颗类似于地球的宜居行星，经观测得知该行星的自转周期为T，半径为R，该行星的同步卫星A的圆轨道半径为。卫星B沿半径为的圆轨道在该行星的赤道的正上方运行，其运行方向和该行星的自转方向相同，求：

（1）卫星B做匀速圆周运动的周期；

（2）卫星A和卫星B连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）方法一：对同步卫星A，有

对卫星B，有

联立解得

方法二：对卫星A和B，由开普勒第三定律，得

得，卫星B的周期为:

（2）方法一：设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔为t，在此时间间隔t内，卫星A和B绕行星中心转动的角度分别和，以地心为参考系，B不能连续看到A的时间内，关系如图所示

卫星A转过的角度

卫星B转过的角度

而 即

而 ， 且 ，

故

故 综上，可得

方法二：相对运动法，如图所示，有

不考虑A的公转，以A作为参考系，B相对于A的角速度为:

B不能连续与A通信，有：

即：

而， 故有

又有

则

由几何关系知：，故

综上，可得