Question

4．如图所示，一水平方向的传送带以恒定的速度v=2m/s沿顺时针方向匀速转动，传送带右端固定着一光滑的四分之一圆弧面轨道，并与弧面下端相切，一物体自圆弧面轨道，并与弧面轨道的最高点由静止滑下，圆弧轨道的半径R=0.45m，物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.2，不计物体滑过曲面与传送带交接处时的能量损失，传送带足够长，g=10m/s²．求：
（1）物体滑上传送带向左运动的最远距离；
（2）物体第一次从滑上传送带到离开传送带所经历的时间；
（3）物体再次滑上圆弧曲面轨道后，能到达的最高点与圆弧最高点的竖直高度．
（4）最终物体能否停下来？若能，请说明物体停下的位置．若不能，请简述物体的运动规律．

Answer 1

分析 （1）的关键是明确物体向左速度减为零时最远，然后根据牛顿运动定律即可求解．
（2）的关键是明确物体速度减为零后又反向加速，离开传送带时的速度与传送带的速度相同，不难根据速度时间关系求出总时间．
（3）的关键是根据动能定理求出物体速度为零时到圆弧最高点；
（4）根据物体的运动状态判断能否停下来．

解答 解：（1）物体下落到圆弧面底端时的速度为${v}_{0}^{\;}$，由mgR=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
得${v}_{0}^{\;}$=3m/s，
又物体在传送带上的加速度大小为a=μg=2m/${s}_{\;}^{2}$，
当物体速度为0时最远，由0-${v}_{\;}^{2}$=-2ax，
代入数据解得x=2.25m
故物体滑上传送带向左运动的最远距离为2.25m．
（2）由0=${v}_{0}^{\;}$-at得，物体速度减为零的时间${t}_{1}^{\;}$=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{a}$=1.5s
物体速度为零后反向做匀加速运动，物体向右运动速度达到v时，已向右移动的距离 s₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=1m
所用时间 t₂=$\frac{v}{a}$=1s
匀速运动的时间 t₃=$\frac{s-{s}_{1}}{v}$=0.625s
t=t₁+t₂+t₃=3.125s
故物体第一次从滑上传送带到离开传送带所经历的时间为3.125s．
（3）由动能定理有-mgh=0-$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，可得h=0.2m，与圆弧最高点距离为△h=R-h=0.25m
故物体再次滑上圆弧曲面轨道后，能到达的最高点与圆弧最高点的竖直高度为0.25m．
（4）根据第二问可知，物体每次到达传送带右端时的速度为2m/s，然后滑上曲面，后滑下曲面达到斜面底端的速度还是2m/s，然后向左做匀减速运动知道速度等于零，后又向右做匀加速运动，到达传送带右端时的速度为2m/s，所以物体不会停下来，在传送带和圆弧轨道上作周期性的往复运动．
答：（1）物体滑上传送带向左运动的最远距离是2.25m；
（2）物体第一次从滑上传送带到离开传送带所经历的时间是3.125s；
（3）物体再次滑上圆弧曲面轨道后，能到达的最高点与圆弧最高点的竖直高度是0.25m．
（4）最终物体不能停下来；物块在传送带和圆弧轨道上作周期性的往复运动．

点评 此题的难点是物体运动过程分析，物体以大于传送带的速度做减速运动，当速度为零时最远，然后反向加速运动，回到原位置时的速度与传送带的速度相同．