Question

18．如图，在光滑的水平桌面上钉两个相距20cm的钉子A和B，用一根长1m的细绳，一端系一个质量为0.5kg的小球，另一端固定在钉子A上．开始时球与钉子A、B在一直线上，然后使小球以2m/s的速率开始在水平桌面内做匀速圆周运动，若绳子能承受的最大拉力为4N，取g=10m/s²．求：
（1）绳子断裂时小球的运动半径；
（2）从小球开始运动到绳子断裂所经历的时间；
（3）如果桌面高出地面0.8m，绳断后小球垂直桌面边缘飞出，不计空气阻力．落地点离桌面边缘的水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）小球在运动过程中速率不变，绳子断裂时绳子拉力达到最大值4N，由向心力公式求绳子断裂时小球的运动半径．
（2）小球每转半圈，长度减小20cm．然后求出从开始到绳断所经历的时间．
（3）绳断后小球做平抛运动，根据高度求出下落的时间，再由x=vt求水平距离．

解答 解：（1）小球在水平面上做匀速圆周运动时，由绳子的拉力充当向心力．当绳子的拉力为最大值4N时，根据向心力公式得：
F_max=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{min}}$
代入数据解得：R_min=0.5m
小球做圆周运动时每转半圈半径减小0.2m，故绳子断裂时小球的运动半径为0.4m．
（2）小球做圆周运动的周期为 T=$\frac{2πR}{v}$，小球做圆周运动时每转半圈半径减小0.2m，则知小球转过3个半圆周后绳断裂，所以从开始到绳断所经历的时间为：
  t=$\frac{π{R}_{1}}{v}$+$\frac{π{R}_{2}}{v}$+$\frac{π{R}_{3}}{v}$=$\frac{π}{v}$（R₁+R₂+R₃）=$\frac{π}{2}$×（1+0.8+0.6）s=1.2π s
（3）绳断后小球做平抛运动，则有：
H=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$
L=vt′
解得落地点离桌面边缘的水平距离为：
L=0.8m
答：（1）绳子断裂时小球的运动半径是0.4m；
（2）从小球开始运动到绳子断裂所经历的时间是1.2π s；
（3）落地点离桌面边缘的水平距离是0.8m．

点评 本题的关键是找出小球运动的规律，运用数学上数列知识进行求解．要注意小球的半径不可能为0.5m．